Лагранжіан Дарвіна

Лагранжіан Дарвіна (названий на честь Чарлза Ґалтона Дарвіна, онука відомого біолога) описує взаємодію до порядку

${\displaystyle {v^{2} \over c^{2}}}$

між двома зарядженими частинками у вакуумі та дається виразом:

${\displaystyle L^{}=L_{f}+L_{int}^{}}$

де вільночастинковий лагранжіан має вигляд:

${\displaystyle L_{f}={1 \over 2}m_{1}v_{1}^{2}+{1 \over 8c^{2}}m_{1}v_{1}^{4}+{1 \over 2}m_{2}v_{2}^{2}+{1 \over 8c^{2}}m_{2}v_{2}^{4},}$

а лагранжіан взаємодії:

${\displaystyle L_{int}=L_{C}+L_{D}^{}}$

де перший доданок є кулонівською взаємодією:

${\displaystyle L_{C}=-{q_{1}q_{2} \over r}}$

а другий - дарвінівською:

${\displaystyle L_{D}={q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}.}$

Тут q₁ та q₂ є зарядами частинок 1 та 2 відповідно, m₁ та m₂ - їхніми масами, v₁ та v₂ - швидкостями; c - швидкість світла, r - вектор між двома частинками, а ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ - одиничний вектор в напрямку r.

Вільний Лагранжіан є розкладом в ряд Тейлора вільного лагранжіану двох релятивістських частинок з точністю до величин другого порядку по v. Доданок з дарвінівською взаємодією відповідає реакції однієї частинки на магнітне поле, що створює друга частинка. Якщо члени вищих порядків по v/c збережені, тоді слід враховувати польові ступені вільності і взаємодія між частинками більше не може розглядатись як миттєва. В такому випадку повинні братись до уваги запізнювальні ефекти.

Дарвінівська взаємодія у вакуумі

Лагранжіан для релятивістської взаємодії частинки з зарядом q, що взаємодіє з електромагнітним полем, має вигляд:

${\displaystyle L_{int}=-q\Phi +{q \over c}\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} }$

де u - релятивістська швидкість частинки. Перший доданок справа виражає кулонівську взаємодію, другий - дарвінівську. Векторний потенціал в задається рівнянням (в одиницях Ґауса):

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}=-{4\pi \over c}\mathbf {J} _{t}}$

Де поперечний потік J_t є (див.), створеним другою частинкою. Дивергенція поперечного потоку нульова.

Потік, що створює друга частинка:

${\displaystyle \mathbf {J} =q_{2}\mathbf {v} _{2}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}\right),}$

що відповідає перетворенню Фур'є:

${\displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {k} \right)\equiv \int d^{3}r\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {J} \left(\mathbf {r} \right)=q_{2}\mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).}$

Поперечна компонента потоку:

${\displaystyle \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)=q_{2}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).}$

Легко переконатися, що:

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)=0,}$

що має виконуватись, якщо дивергенція поперечного потоку рівна нулю. Бачимо, що

${\displaystyle \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)}$

є компонентою перетворення Фур'є, перпендикулярною до k.

З рівняння для векторного потенціалу, Фур'є-перетворення цього потенціалу:

${\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)={4\pi \over c}{q_{2} \over k^{2}}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right)}$

де зберігся член лише найнижчого порядку по v/c.

Зворотне перетворення Фур'є векторного потенціалу:

${\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} \right)=\int {d^{3}k \over \left(2\pi \right)^{3}}\;\mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)\;{\exp \left(i\mathbf {\mathbf {k} } \cdot \mathbf {r} _{1}\right)}={q_{2} \over 2c}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$

де

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

(див. )

Тоді доданок з дарвінівською взаємодією в лагранжіані буде:

${\displaystyle L_{D}={q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$

де ми знову отримуємо член лише найнижчого порядку по v/c.

Рівняння руху Лагранжа

Рівняння руху для однієї з частинок:

${\displaystyle {d \over dt}{\partial \over \partial \mathbf {v} _{1}}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)}$

${\displaystyle {d\mathbf {p} _{1} \over dt}=\nabla _{1}L\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1}\right)}$

де p₁ -- імпульс частинки.

Вільна частинка

Рівняння руху для вільної частинки, в якому не враховується взаємодія між двома частинками:

${\displaystyle {d \over dt}\left[\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}\right]=0}$

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}=\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}}$

Частинки, що взаємодіють

Рівняння руху для частинок, що взаємодіють:

${\displaystyle {d \over dt}\left[\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{q_{1} \over c}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)\right]=-\nabla {q_{1}q_{2} \over r}+\nabla \left[{q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\right]}$

${\displaystyle {d\mathbf {p} _{1} \over dt}={q_{1}q_{2} \over r^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}+{q_{1}q_{2} \over r^{2}}{1 \over 2c^{2}}\left\{\mathbf {v} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{2}}\right)+\mathbf {v} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {v} _{2}\right]\right\}}$

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}=\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{q_{1} \over c}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)={q_{2} \over 2c}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}}$

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$

Гамільтоніан Дарвіна для двох частинок у вакуумі

Гамільтоніан Дарвіна для двох частинок у вакуумі пов'язаний з лагранжіаном Дарвіна через перетворення Лежандра:

${\displaystyle H=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}-L.}$

В такому випадку маємо гамільтоніан:

${\displaystyle H\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {p} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {p} _{2}\right)=\left(1-{1 \over 4}{p_{1}^{2} \over m_{1}^{2}c^{2}}\right){p_{1}^{2} \over 2m_{1}}\;+\;\left(1-{1 \over 4}{p_{2}^{2} \over m_{2}^{2}c^{2}}\right){p_{2}^{2} \over 2m_{2}}\;+\;{q_{1}q_{2} \over r}\;-\;{q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}\mathbf {p} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}.}$

Рівняння руху Гамільтона

Рівняння руху Гамільтона мають вигляд:

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\partial H \over \partial \mathbf {p} _{1}}}$

та

${\displaystyle {d\mathbf {p} _{1} \over dt}=-\nabla _{1}H}$

Це дає:

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\left(1-{1 \over 2}{p_{1}^{2} \over m_{1}^{2}c^{2}}\right){\mathbf {p} _{1} \over m_{1}}-{q_{1}q_{2} \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}}$

та

${\displaystyle {d\mathbf {p} _{1} \over dt}={q_{1}q_{2} \over r^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}\;+\;{q_{1}q_{2} \over r^{2}}{1 \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}\left\{\mathbf {p} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{2}}\right)+\mathbf {p} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {p} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {p} _{2}\right]\right\}}$

Слід зазначити, що для рівняння Брейта першопочатково використовувались дарвінівський лагранжіан та гамільтоніан. Проте найкраще воно підтверджується в теорії поглинання Вілера-Фейнмана і тепер в квантовій електродинаміці.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Жозефа-Луї Лагранжа

Джерела

• Jackson, John D., Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley, 1998, pp. 596-598