Критерій добутків

Крите́рій добутків  — один з критеріїв прийняття рішень в умовах невизначеності. Умовами невизначеності вважається ситуація, коли наслідки прийнятих рішень невідомі, і можна лише приблизно їх оцінити. Цей критерій застосовується тільки тоді, коли множина станів є скінченною.

Множина оптимальних альтернатив визначається так:

${\displaystyle X_{opt}=\mathrm {arg\;\max _{\mathit {x\in X}}} \prod _{s\in S}\omega (x,s),\;\mathrm {(1)} }$ 

де ${\displaystyle ~\omega (x,s)=u(x,s)}$, за умови, що ${\displaystyle ~u(x,s)>0,\forall \;x\in X}$ та ${\displaystyle ~\forall \;s\in S,\;\mathrm {(2)} }$

${\displaystyle \;u(x,s)}$  — функція рішень, визначена на ${\displaystyle X\times S}$, ${\displaystyle X}$ — множина альтернатив, ${\displaystyle S}$ — множина станів,

Якщо умова ${\displaystyle \mathrm {(2)} }$ не виконується, тоді

${\displaystyle ~\omega (x,s)=u(x,s)-\mathrm {\min _{\mathit {x\in X}}\;\min _{\mathit {s\in S}}} \;u(x,s)+\lambda ,\;\lambda >0.\;\mathrm {(3)} }$

У скінченновимірного випадку, якщо ${\displaystyle \mathbf {U} =[u_{kj}]_{M\times N}}$  — матриця рішень, де ${\displaystyle M}$  — кількість альтернатив, ${\displaystyle N}$  — кількість станів для кожної альтернативи, то множина оптимальних альтернатив визначається так:

${\displaystyle X_{opt}=\mathrm {arg\;\max _{{\mathit {x_{k}}},\;{\mathit {k}}={\overline {1,{\mathit {M}}}}}} \prod _{j=1}^{N}\omega _{xj},\;\mathrm {(4)} }$ 

де ${\displaystyle ~\omega _{kj}=u_{kj}}$, за умови, що ${\displaystyle ~u_{kj}>0,\forall \;k={\overline {1,M}}}$ та ${\displaystyle ~\forall \;j={\overline {1,M}}.\;\mathrm {(5)} }$

Якщо умова ${\displaystyle \mathrm {(5)} }$ не виконується, тоді

${\displaystyle ~\omega _{kj}=u_{kj}-\mathrm {\min _{{\mathit {k}}={\overline {1,{\mathit {M}}}}}\;\min _{{\mathit {j}}={\overline {1,{\mathit {N}}}}}} \;u_{kj}+\lambda ,\;\lambda >0.\;\mathrm {(6)} }$

Приклад

${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}4&1&5&4\\6&7&8&3\\9&1&2&4\\\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}0.1&0.3&0.6&0\\0.2&0.5&0&0.3\\0.6&0.2&0.2&0\\\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle \mathbf {W=(\omega _{\mathit {kj}})_{\mathit {3\times 4}}} ={\begin{bmatrix}4&1&5&4\\6&7&8&3\\9&1&2&4\\\end{bmatrix}}.}$

Нехай ${\displaystyle \lambda =1}$, тоді отримаємо:

${\displaystyle X_{opt}(\lambda )=\mathrm {arg\max _{{\mathit {x_{k}}},\;{\mathit {k}}={\overline {1,{\mathit {M}}}}}} \{4\cdot 1\cdot 5\cdot 4,\;6\cdot 7\cdot 8\cdot 3,\;9\cdot 1\cdot 2\cdot 4\}=\mathrm {arg\max _{{\mathit {x_{k}}},\;{\mathit {k}}={\overline {1,{\mathit {M}}}}}} \{80,\;1008,\;72\}=\{x_{2}\}\;}$

Критерії прийняття рішень

• Теорія рішень
• Критерій Баєса — Лапласа
• Критерій Вальда
• Критерій Севіджа
• Критерій Гурвіца
• Критерій Гермейєра
• Критерій мінімальної дисперсії
• Критерій Ходжа-Лемана