Квантовий ефект Холла в графені

Квантовий ефект Холла в графені або релятивістський (незвичайний) квантовий ефект Холла — явище квантування опору Холла або провідності двовимірного електронного газу або двовимірного діркового газу в сильних магнітних полях у графені. Цей ефект був передбачений теоретично та підтверджений експериментально в 2005 році.

Рівні Ландау

Рівні Ландау в графені описуються рівнянням Дірака для графену з врахуванням сильного магнітного поля, яке можна записати у вигляді:

${\displaystyle [{\vec {\sigma }}\cdot (i\hbar v_{F}{\vec {\nabla }}+{\frac {e}{c}}{\vec {A}})]\psi (x,y)=\varepsilon \psi (x,y),}$

де використовується калібровка Ландау для векторного потенціалу ${\displaystyle {\vec {A}}=(-By,0)}$, двовимірний градієнт дорівнює ${\displaystyle {\vec {\nabla }}=({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}})}$, а вектор ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$ складається з матриць Паулі ${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2})}$. В матричній формі рівняння можна переписати наступним чином:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-i\hbar v{\frac {\partial }{\partial x}}-\hbar v{\frac {\partial }{\partial y}}+eBy\\-i\hbar v_{F}{\frac {\partial }{\partial x}}+\hbar v{\frac {\partial }{\partial y}}+eBy&0\end{pmatrix}}\psi (x,y)=\varepsilon \psi (x,y).}$

Тут можна легко розділити змінні й отримати в результаті спектр для :

${\displaystyle \varepsilon _{n}=\pm \hbar \omega _{c}{\sqrt {n}}=\pm {\sqrt {\hbar v_{F}^{2}eB2n/c}},}$

де n = 0, 1, 2, …; ${\displaystyle {\tilde {\omega }}_{c}={\sqrt {2}}{\frac {v_{F}}{l_{B}}}}$ — циклотронна частота, ${\displaystyle l_{B}={\sqrt {\frac {\hbar c}{eB}}}}$ — .

Квантовий ефект Холла

Вперше незвичайний (англ. unconventional) квантовий ефект Холла спостерігали в працях, де було показано, що носії заряду в графені дійсно мають «нульову» ефективну масу, оскільки положення плато на залежності недіагональної компоненти тензора провідності відповідали напівцілим значенням холлівської провідності ${\displaystyle \nu =\pm (|n|+1/2)}$ в одиницях ${\displaystyle 4e^{2}/h}$ (множник 4 відповідає чотирикратному виродженню по енергії), тобто

${\displaystyle \sigma _{xy}=\pm {\frac {4e^{2}}{h}}\left(|n|+{\frac {1}{2}}\right).}$

Це квантування сумісне з теорією квантового ефекту Холла для діраківських безмасових ферміонів. Порівняння цілочисленного квантового ефекту Холла в звичайній двовимірній системі та графені показане на малюнку 1. Тут показані розширені рівні Ландау для електронів (виділене червоним кольором) та для дірок (синій колір). Якщо рівень Фермі знаходиться між рівнями Ландау, то на залежності холлівської провідності ${\displaystyle \sigma _{xy}}$ спостерігається ряд плато. Ця залежність відрізняється від звичайних двовимірних систем (аналогом може слугувати двовимірний електронний газ в кремнії, котрий є дводолинним напівпровідником в площинах еквівалентних {100}, тобто також має чотирикратне виродження рівнів Ландау і холлівські плато спостерігаються при ${\displaystyle \nu =4|n|}$).

Квантовий ефект Холла (КЕХ) може бути використаний як еталон опору, оскільки чисельне значення плато в графені дорівнює ${\displaystyle h/2e^{2}}$ і має високу точність, хоч якість виготовлених приладів поступається високорухливому ДЕГ в GaAs і, відповідно, точності квантування. Перевага КЕХ у графені полягає в тому, що він спостерігається при кімнатній температурі (в магнітних полях, сильніших за 20 Т). Основне обмеження на спостереження КЕХ при кімнатній температурі викликається не температурною розмазкою розподілу Фермі — Дірака, а розсіюванням носіїв заряду на домішках, що призводить до розширення самих рівнів Ландау.

Рис. 1. a) Квантовий ефект Холла в звичайній двовимірній системі. b) Квантовий ефект Холла в графені. ${\displaystyle g=g_{s}g_{v}=4}$ — виродження спектра

p-n перехід

Через відсутність забороненої зони в графені в структурах із верхнім затвором можна сформувати неперервний p-n перехід, коли напруга на верхньому затворі дозволяє інвертувати знак носіїв заряду, що задається оберненим затвором в графені, де концентрація носіїв ніколи не дорівнює нулю (крім точки електронейтральності) і немає області позбавленої носіїв як у звичайних p-n переходах. В таких структурах також можна спостерігати квантовий ефект Холла, проте через неоднорідності знаку носіїв значення холлівських плато відрізняються від приведених вище. Для структури з одним p-n переходом значення квантування холлівської провідності описується формулою:

${\displaystyle G={\frac {2e^{2}}{h}}{\frac {|\nu ^{\prime }||\nu |}{|\nu ^{\prime }|+|\nu |}},}$

де ${\displaystyle \nu }$ и ${\displaystyle \nu ^{\prime }}$ — фактори заповнення в n- та p- областях відповідно (p-область знаходиться під верхнім затвором), що може приймати значення ${\displaystyle \pm 2,\pm 6,\pm 10}$ і т. д. Тоді плато в структурах з одним p-n переходом спостерігаються при значениях 1, 3/2, 2,… Такі значення плато спостерігалися в експерименті.

p-n-p перехід

Для структури з двома p-n переходами відповідні значення холлівської провідності дорівнюють:

${\displaystyle G={\frac {e^{2}}{h}}{\frac {|\nu ^{\prime }||\nu |}{2|\nu ^{\prime }|+|\nu |}}={\frac {2}{3}},{\frac {6}{5}},{\frac {6}{7}},...(\nu \nu ^{\prime }<0).}$

Розщеплення основного рівня Ландау

В статті спостерігається спінове розщеплення та зняття чотирикратного виродження для найнижчого рівня Ландау поблизу точки електронейтральності. Для пояснення цього явища запропоновано декілька теорій.

Див. також

• Квантовий ефект Холла

Посилання

1. Gusynin V. P. et al. «Unconventional Integer Quantum Hall Effect in Graphene» Phys. Rev. Lett. 95, 146801 (2005) http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.95.146801
2. Peres N. M. R., et. al. Electronic properties of disordered two-dimensional carbon Phys. Rev. B 73, 125411 (2006) http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.73.125411
3. Novoselov K. S. et al. «Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene», Nature 438, 197 (2005) http://dx.doi.org/10.1038/nature04233
4. Zhang Y.et. al. «Experimental observation of the quantum Hall effect and Berry's phase in graphene» Nature 438, 201 (2005) http://dx.doi.org/10.1038/nature04235
5. Peres N. M. R. et. al. "Algebraic solution of a graphene layer in transverse electric and perpendicular magnetic fields"J. Phys.: Condens. Matter 19, 406231 (2007) DOI:10.1088/0953-8984/19/40/406231
6. Novoselov K. S. et. al. Room-Temperature Quantum Hall Effect in Graphene Science 315, 1379 (2007) DOI:10.1126/science.1137201
7. Abanin D. A., Levitov L. S. Quantized Transport in Graphene p-n Junctions in a Magnetic Field Science 3, 641 (2007) DOI:10.1126/science.1144672
8. Williams J. R. et. al. Quantum Hall Effect in a Gate-Controlled p-n Junction of Graphene Science 317, 638 (2007) DOI:10.1126/science.1144657
9. Ozyilmaz B. et. al. Electronic Transport and Quantum Hall Effect in Bipolar Graphene p-n-p Junctions Phys. Rev. Lett. 99, 166804 (2007) DOI:10.1103/PhysRevLett.99.166804
10. Zhang Y., et al., «Landau-Level Splitting in Graphene in High Magnetic Fields» Phys. Rev. Lett. 96, 136806 (2006) DOI:10.1103/PhysRevLett.96.136806
11. Fuchs J. et al. Spontaneous Parity Breaking of Graphene in the Quantum Hall Regime Phys. Rev. Lett. 98, 016803 (2007) DOI:10.1103/PhysRevLett.98.016803; Nomura K. et al., Quantum Hall Ferromagnetism in Graphene Phys. Rev. Lett. 96, 256602 (2006) DOI:10.1103/PhysRevLett.96.256602; Abanin D. A. et al., Spin-Filtered Edge States and Quantum Hall Effect in Graphene Phys. Rev. Lett. 96, 176803 (2006) DOI:10.1103/PhysRevLett.96.176803; Fertig H. A. et al., Luttinger Liquid at the Edge of Undoped Graphene in a Strong Magnetic Field Phys. Rev. Lett. 97, 116805 (2006) DOI:10.1103/PhysRevLett.97.116805; Goerbig M. O. et al., Electron interactions in graphene in a strong magnetic field Phys. Rev. B 74, 161407 (2006) DOI:10.1103/PhysRevB.74.161407; Alicea J. et al., Graphene integer quantum Hall effect in the ferromagnetic and paramagnetic regimes Phys. Rev. B 74, 075422 (2006) DOI:10.1103/PhysRevB.74.075422; Gusynin V. P. et al., Excitonic gap, phase transition, and quantum Hall effect in graphene Phys. Rev. B 74, 195429 (2006) DOI:10.1103/PhysRevB.74.195429