Квадратурна формула Гаусса — Лаґерра

У чисельному аналізі квадрату́рна фо́рмула Га́усса — Лаґе́рра або метод Гаусса — Лаґерра — це поліпшення формули чисельного інтегрування Гаусса.

Квадратурна формула Гаусса — Лаґерра апроксимує значення інтегралів вигляду:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx}$

поруч за ${\displaystyle n}$ точками:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),}$

де ${\displaystyle x_{i}}$ — це ${\displaystyle i}$-й корінь полінома Лаґерра ${\displaystyle L_{n}(x)}$, а коефіцієнти ${\displaystyle w_{i}}$:

${\displaystyle w_{i}={\frac {x_{i}}{(n+1)^{2}L_{n+1}^{2}(x_{i})}}.}$

Для функції довільного вигляду

Для інтеграла довільної функції можна записати:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }f(x)\,dx=\int \limits _{0}^{+\infty }f(x)e^{x}e^{-x}\,dx=\int \limits _{0}^{+\infty }g(x)e^{-x}\,dx,}$

де ${\displaystyle g(x)=f(x)e^{x}}$.

Далі можна застосувати квадратурну формулу Гаусса — Лаґерра до нової функції ${\displaystyle g(x)}$.

Примітки

1. Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. — 10th printing with corrections. — Dover, 1972. — . Equation 25.4.45.

Див. також

• Чисельне інтегрування