Задача про два конверти (Парадокс двох конвертів) — відомий парадокс, що демонструє як особливості суб'єктивного сприйняття теорії ймовірності, так і межі її використання. У вигляді двох конвертів цей парадокс з'явився в кінці 1980-х років, хоча різноманітні формулювання відомі математиці з першої половини ХХ століття.
Формулювання
Є два однакові конверти з грошима. В одному знаходиться сума в двічі більша, ніж в іншому. Величина цієї суми невідома. Конверти дають двом гравцям. Кожен з них може відкрити свій конверт і перерахувати гроші. Після цього гравці мають вирішити: чи варто обміняти свій конверт на чужий? Обидва гравця міркують таким чином. Я бачу в своєму конверті суму . В чужому конверті може знаходитись або . Тому якщо я обміняю конверт, то в мене в середньому буде , тобто більше ніж зараз. Отже, обмін — вигідний. Однак, обмін не може бути вигідним для обох гравців. Де в їх міркуваннях знаходиться помилка?
Історія
В 1953 році бельгійський математик запропонував схожу задачу на прикладі двох краваток.
"Кожен з двох людей стверджує, що його краватка гарніша. Щоб розв'язати цю суперечку, вони звертаються до третьої людини — судді. Переможець має подарувати переможеному свою краватку, для втіхи. Обоє міркують наступним чином: "Я знаю скільки коштує моя краватка. Я можу програти її, але можу й виграти більш гарну, тому в цій суперечці перевага на моїй стороні". Як в одній грі перевага може бути на боці кожного з гравців?"
Крайчик стверджує, що симетрія в грі є, але припускає неправомірність використання ймовірності 1/2 при обчисленні середнього доходу:
"З точки зору обох гравців суперечки, гра симетрична і кожен має однакову ймовірність виграти. Однак, ймовірність не є об'єктивним фактом і залежить від знання умови задачі. В даному випадку розумно не намагатись оцінювати ймовірність."
Задача стала популярною завдяки Мартіну Гарднеру, який описав її в 1982 році під назвою "Чий гаманець товщий?". Гарднер погоджувався з Крайчиком в тому, що гра "чесна" (симетрична), і в тому, що гра не може бути одночасно вигідна обом сторонам, а також в тому, що міркування гравців здається сумнівним:
"Чи може одна і та ж гра бути "вигіднішою" для кожного з двох партнерів? Ясно, що не може. Чи не виникає парадокс через те, що кожен гравець помилково вважає, начебто його шанси на перемогу та поразку однакові?"
Однак, Гарднер відмічає також, що докладного математичного розбору задачі Крайчиком зроблено не було:
"На жаль, це не говорить нам нічого про те, де саме в міркуваннях двох гравців ховається помилка. Як би ми не старались, нам так і не вдалося знайти просте і задовільне розв'язання парадокса Крайчика."
В подальшому задача приймала назву "парадокс двох скриньок", "парадокс двох кишень", "парадокс обміну" і т. д.
Новий інтерес до парадоксу виник після публікації Баррі Нейлбуфом статті з переліком ряду парадоксів теорії ймовірності в журналі Journal of Economic Perspectives. Після отримання безлічі відгуків на цю публікацію, він підготував іншу статтю "Чужий конверт — завжди зеленіший" («The Other Person’s Envelope is Always Greener»), що була присвячена безпосередньо задачі конвертів. В запропонованому ним формулюванні є два конверти:
"В один конверт поміщається деяка сума грошей, невідома для інших, і цей конверт віддається Алі. Потім таємно підкидається монета. Якщо випадає орел, в другий конверт вкладається сума вдвічі більша, ніж у першому. В протилежному випадку в другий конверт вкладають суму вдвічі меншу. Цей конверт віддають Бабі. Алі і Баба можуть відкрити свої конверти, не говорячи одне одному суми, які вони там бачать. Після цього вони можуть (за спільною згодою) обмінятись конвертами.
Припустимо, що Алі бачить в своєму конверті 10 $. Алі припускає, що в конверті у Баби з однаковою ймовірністю можуть бути 5$ або 20$. В цьому випадку обмін конвертами приносить Алі 2,5 $ (або 25 %). Аналогічно Баба вважає, що в конверті у Алі ймовірно знаходиться сума в 2 рази більша, або менша, ніж , що знаходиться в нього. Тому при обміні конвертами, він отримує .
Таким чином, Баба також очікує отримати в середньому 25 % доходу, у порівнянні з сумою в своєму конверті. Однак, це є парадоксальним. Обмін конвертами не може бути вигідним обом учасникам. Де помилка в їх міркуваннях?"
Модифікація Нейлбуфа умови задачі і запропоновані ним розв'язання дозволили пояснити багато чого по суті парадоксу. Однак, підкидання монетки після наповнення першого конверту помітно змінювало початкову симетрію капіталів гравців. При розв'язанні акцент зміщувався на доказ нерівноцінності початкових умов у відношенні до Баби в порівнянні з Алі. Тому в результаті подальшої еволюції з умови задачи щезла монетка, за допомогою якої у Нейлбуфа визначався вміст другого конверту.
На сьогоднішній день найбільш широко відома і викликає найбільший інтерес у математиків ідеально симетрична постановка із конвертами, що зовні не відрізняються, мають меншу і вдвічі більшу суму, причому один з конвертів можна відкрити раніше, ніж почати міркування про вигідність обміну.
Розв'язання парадоксу
Помилка полягає в тому, що при розрахунку визначається середнє число, а це не коректно, оскільки середнє можна рахувати, маючи на руках обидва конверти, а не один з них.
З точки зору Нейлбуфа перше задовільне пояснення його задачі подане Санді Забеллом в статті "Збитки та доходи: парадокс обміну". Дещо переформулювавши, Нейлбуф пише:
"Баба вважає, що сума, яку він бачить, не має значення, в силу того, що в його конверті більша сума. Це означає, що Баба думає, що ймовірність того, що сума в його конверті більша, є 1/2 незалежно від побаченої суми. Це вірно лише тоді, коли кожне значення від 0 до нескінченності рівноймовірне, шанс кожного значення має нульову ймовірність. Тоді у кожного результату нульовий шанс. А це — нонсенс."
Формальна аргументація
Позначимо через ймовірність того, що в конверті Алі знаходиться сума x. Коли Баба спостерігає в своєму конверті суму X, умовна ймовірність того, що Алі в своєму конверті має 2X, рівна : . У формулюванні задачі Баба вважає, що ця ймовірність рівна 1/2 незалежно від того, яку суму X він бачить в своєму конверті. Тому для всіх .
Це означає, що стала на інтервалі від 0 до нескінченності. Однак, такої ймовірності, рівномірної на всій дійсній півосі, бути не може. Якщо ймовірність додатня і стала всюди, то сума ймовірностей дорівнює нескінченності, що неможливо. Отже, початкове припущення парадоксу (рівноймовірність та ) не реалізується.
Все набагато простіше. Проблема витікає з того, що ми трактуємо, як відоме, а що ні.
У формулюванні з конвертами, у яких ВЖЕ є гроші, ми знаємо, що в одному конверті сума , а в іншому . Тримаючі у руках конверт, кожен гравець знає, що в цьму конверті одна з ціх сум з вірогідністю . Відповідно мат-очикування зміни конверту: для обох гравців. Протирічча нема.
У формулюванні з підкиданням монетки в першому конверті сума . В другому конверті з вірогідністю суми або . Мат-очикування гравців:
І тут також жодного протирічча нема.
Посилання
Див. також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Zadacha pro dva konverti Paradoks dvoh konvertiv vidomij paradoks sho demonstruye yak osoblivosti sub yektivnogo sprijnyattya teoriyi jmovirnosti tak i mezhi yiyi vikoristannya U viglyadi dvoh konvertiv cej paradoks z yavivsya v kinci 1980 h rokiv hocha riznomanitni formulyuvannya vidomi matematici z pershoyi polovini HH stolittya FormulyuvannyaYe dva odnakovi konverti z groshima V odnomu znahoditsya suma v dvichi bilsha nizh v inshomu Velichina ciyeyi sumi nevidoma Konverti dayut dvom gravcyam Kozhen z nih mozhe vidkriti svij konvert i pererahuvati groshi Pislya cogo gravci mayut virishiti chi varto obminyati svij konvert na chuzhij Obidva gravcya mirkuyut takim chinom Ya bachu v svoyemu konverti sumu X displaystyle X V chuzhomu konverti mozhe znahoditis 2 X displaystyle 2X abo X 2 displaystyle frac X 2 Tomu yaksho ya obminyayu konvert to v mene v serednomu bude 2 X X 2 2 5 4 X displaystyle left 2X frac X 2 right 2 frac 5 4 X tobto bilshe nizh zaraz Otzhe obmin vigidnij Odnak obmin ne mozhe buti vigidnim dlya oboh gravciv De v yih mirkuvannyah znahoditsya pomilka IstoriyaV 1953 roci belgijskij matematik zaproponuvav shozhu zadachu na prikladi dvoh kravatok Kozhen z dvoh lyudej stverdzhuye sho jogo kravatka garnisha Shob rozv yazati cyu superechku voni zvertayutsya do tretoyi lyudini suddi Peremozhec maye podaruvati peremozhenomu svoyu kravatku dlya vtihi Oboye mirkuyut nastupnim chinom Ya znayu skilki koshtuye moya kravatka Ya mozhu prograti yiyi ale mozhu j vigrati bilsh garnu tomu v cij superechci perevaga na moyij storoni Yak v odnij gri perevaga mozhe buti na boci kozhnogo z gravciv Krajchik stverdzhuye sho simetriya v gri ye ale pripuskaye nepravomirnist vikoristannya jmovirnosti 1 2 pri obchislenni serednogo dohodu Z tochki zoru oboh gravciv superechki gra simetrichna i kozhen maye odnakovu jmovirnist vigrati Odnak jmovirnist ne ye ob yektivnim faktom i zalezhit vid znannya umovi zadachi V danomu vipadku rozumno ne namagatis ocinyuvati jmovirnist Zadacha stala populyarnoyu zavdyaki Martinu Gardneru yakij opisav yiyi v 1982 roci pid nazvoyu Chij gamanec tovshij Gardner pogodzhuvavsya z Krajchikom v tomu sho gra chesna simetrichna i v tomu sho gra ne mozhe buti odnochasno vigidna obom storonam a takozh v tomu sho mirkuvannya gravciv zdayetsya sumnivnim Chi mozhe odna i ta zh gra buti vigidnishoyu dlya kozhnogo z dvoh partneriv Yasno sho ne mozhe Chi ne vinikaye paradoks cherez te sho kozhen gravec pomilkovo vvazhaye nachebto jogo shansi na peremogu ta porazku odnakovi Odnak Gardner vidmichaye takozh sho dokladnogo matematichnogo rozboru zadachi Krajchikom zrobleno ne bulo Na zhal ce ne govorit nam nichogo pro te de same v mirkuvannyah dvoh gravciv hovayetsya pomilka Yak bi mi ne staralis nam tak i ne vdalosya znajti proste i zadovilne rozv yazannya paradoksa Krajchika V podalshomu zadacha prijmala nazvu paradoks dvoh skrinok paradoks dvoh kishen paradoks obminu i t d Novij interes do paradoksu vinik pislya publikaciyi Barri Nejlbufom statti z perelikom ryadu paradoksiv teoriyi jmovirnosti v zhurnali Journal of Economic Perspectives Pislya otrimannya bezlichi vidgukiv na cyu publikaciyu vin pidgotuvav inshu stattyu Chuzhij konvert zavzhdi zelenishij The Other Person s Envelope is Always Greener sho bula prisvyachena bezposeredno zadachi konvertiv V zaproponovanomu nim formulyuvanni ye dva konverti V odin konvert pomishayetsya deyaka suma groshej nevidoma dlya inshih i cej konvert viddayetsya Ali Potim tayemno pidkidayetsya moneta Yaksho vipadaye orel v drugij konvert vkladayetsya suma vdvichi bilsha nizh u pershomu V protilezhnomu vipadku v drugij konvert vkladayut sumu vdvichi menshu Cej konvert viddayut Babi Ali i Baba mozhut vidkriti svoyi konverti ne govoryachi odne odnomu sumi yaki voni tam bachat Pislya cogo voni mozhut za spilnoyu zgodoyu obminyatis konvertami Pripustimo sho Ali bachit v svoyemu konverti 10 Ali pripuskaye sho v konverti u Babi z odnakovoyu jmovirnistyu mozhut buti 5 abo 20 V comu vipadku obmin konvertami prinosit Ali 2 5 abo 25 Analogichno Baba vvazhaye sho v konverti u Ali jmovirno znahoditsya suma v 2 razi bilsha abo mensha nizh x displaystyle x sho znahoditsya v nogo Tomu pri obmini konvertami vin otrimuye 0 5 x x 2 0 25 x displaystyle 0 5x x 2 0 25x Takim chinom Baba takozh ochikuye otrimati v serednomu 25 dohodu u porivnyanni z sumoyu v svoyemu konverti Odnak ce ye paradoksalnim Obmin konvertami ne mozhe buti vigidnim obom uchasnikam De pomilka v yih mirkuvannyah Modifikaciya Nejlbufa umovi zadachi i zaproponovani nim rozv yazannya dozvolili poyasniti bagato chogo po suti paradoksu Odnak pidkidannya monetki pislya napovnennya pershogo konvertu pomitno zminyuvalo pochatkovu simetriyu kapitaliv gravciv Pri rozv yazanni akcent zmishuvavsya na dokaz nerivnocinnosti pochatkovih umov u vidnoshenni do Babi v porivnyanni z Ali Tomu v rezultati podalshoyi evolyuciyi z umovi zadachi shezla monetka za dopomogoyu yakoyi u Nejlbufa viznachavsya vmist drugogo konvertu Na sogodnishnij den najbilsh shiroko vidoma i viklikaye najbilshij interes u matematikiv idealno simetrichna postanovka iz konvertami sho zovni ne vidriznyayutsya mayut menshu i vdvichi bilshu sumu prichomu odin z konvertiv mozhna vidkriti ranishe nizh pochati mirkuvannya pro vigidnist obminu Rozv yazannya paradoksuPomilka polyagaye v tomu sho pri rozrahunku viznachayetsya serednye chislo a ce ne korektno oskilki serednye mozhna rahuvati mayuchi na rukah obidva konverti a ne odin z nih Z tochki zoru Nejlbufa pershe zadovilne poyasnennya jogo zadachi podane Sandi Zabellom v statti Zbitki ta dohodi paradoks obminu Desho pereformulyuvavshi Nejlbuf pishe Baba vvazhaye sho suma yaku vin bachit ne maye znachennya v silu togo sho v jogo konverti bilsha suma Ce oznachaye sho Baba dumaye sho jmovirnist togo sho suma v jogo konverti bilsha ye 1 2 nezalezhno vid pobachenoyi sumi Ce virno lishe todi koli kozhne znachennya vid 0 do neskinchennosti rivnojmovirne shans kozhnogo znachennya maye nulovu jmovirnist Todi u kozhnogo rezultatu nulovij shans A ce nonsens Formalna argumentaciyaPoznachimo cherez f x displaystyle f x jmovirnist togo sho v konverti Ali znahoditsya suma x Koli Baba sposterigaye v svoyemu konverti sumu X umovna jmovirnist togo sho Ali v svoyemu konverti maye 2X rivna P A 2 X B X f 2 X f X 2 f 2 X displaystyle P A 2X B X frac f 2X f X 2 f 2X U formulyuvanni zadachi Baba vvazhaye sho cya jmovirnist rivna 1 2 nezalezhno vid togo yaku sumu X vin bachit v svoyemu konverti Tomu f X 2 f 2 X displaystyle f X 2 f 2X dlya vsih X gt 0 displaystyle X gt 0 Ce oznachaye sho f x displaystyle f x stala na intervali vid 0 do neskinchennosti Odnak takoyi jmovirnosti rivnomirnoyi na vsij dijsnij pivosi buti ne mozhe Yaksho jmovirnist dodatnya i stala vsyudi to suma jmovirnostej dorivnyuye neskinchennosti sho nemozhlivo Otzhe pochatkove pripushennya paradoksu rivnojmovirnist 2 X displaystyle 2X ta X 2 displaystyle frac X 2 ne realizuyetsya Vse nabagato prostishe Problema vitikaye z togo sho mi traktuyemo yak vidome a sho ni U formulyuvanni z konvertami u yakih VZhE ye groshi mi znayemo sho v odnomu konverti suma x displaystyle x a v inshomu 2 x displaystyle 2x Trimayuchi u rukah konvert kozhen gravec znaye sho v cmu konverti odna z cih sum z virogidnistyu p 1 p 2 0 5 displaystyle p 1 p 2 0 5 Vidpovidno mat ochikuvannya zmini konvertu M p 1 x 2 x p 2 2 x x 0 displaystyle M p 1 x 2x p 2 2x x 0 dlya oboh gravciv Protirichcha nema U formulyuvanni z pidkidannyam monetki v pershomu konverti suma 2 x displaystyle 2x V drugomu konverti z virogidnistyu p 1 p 4 0 5 displaystyle p 1 p 4 0 5 sumi x displaystyle x abo 4 x displaystyle 4x Mat ochikuvannya gravciv M 1 p 1 x 2 x p 4 4 x 2 x 0 5 x displaystyle M 1 p 1 x 2x p 4 4x 2x 0 5x M 2 p 1 2 x x p 4 2 x 4 x 0 5 x displaystyle M 2 p 1 2x x p 4 2x 4x 0 5x I tut takozh zhodnogo protirichcha nema PosilannyaDiv takozhUmovna jmovirnist Paradoks Monti Holla Paradoks Parrondo