Парадо́кс Монті Голла — одна з відомих задач теорії ймовірностей, розв'язок якої, на перший погляд, суперечить здоровому глузду. Задача формулюється як опис гіпотетичної гри, заснованої на американському телешоу [en]. Ця задача названа на честь ведучого цієї передачі Монті Голла. Найбільш розповсюджена версія гри була опублікована в 1990 році в журналі Parade Magazine і звучить так:
Уявіть себе на телегрі, де вам потрібно обрати одні з трьох дверей: за одними з них автомобіль; за двома іншими по козі. Ви обираєте одні двері, наприклад, перші, ведучий відчиняє одні з двох інших, наприклад, треті, за якими коза. Тоді він каже вам: «Бажаєте змінити вибір на другі двері?» Чи отримаєте ви перевагу, якщо зміните свій вибір?
Хоча дане формулювання вважається найвідомішим, воно є дещо проблематичним, оскільки деякі важливі умови невизначені. Нижче наводиться повне формулювання.
При розв'язанні цієї задачі зазвичай розмірковують приблизно так: після того, як ведучий відчинив двері, за якими знаходиться коза, автомобіль може бути за одними з двох дверей, що залишились. Оскільки гравець не може отримати ніякої додаткової інформації про те, за якими дверима знаходиться автомобіль, то ймовірність знаходження автомобіля за кожними з дверей однакова, і зміна вибору не дає гравцю додаткових переваг. Однак такий хід роздумів неправильний. Якщо ведучий завжди знає, за якими дверима що знаходиться, то він завжди відчиняє ті двері, за якими знаходиться коза, і завжди пропонує гравцю змінити вибір, тоді ймовірність того, що автомобіль знаходиться за дверима, які були обрані спочатку, дорівнює 1/3, і, відповідно, ймовірність того, що автомобіль знаходиться за дверима, що залишились, дорівнює 2/3. Таким чином, зміна початкового вибору збільшує шанси гравця вдвічі. Цей висновок суперечить інтуїтивному сприйняттю більшості людей, тому ця задача і називається парадоксом Монті Холла.
Точніше поставлення задачі
Найрозповсюдженіше формулювання задачі, на жаль, не зовсім правильне, оскільки залишає невизначеними декілька істотних умов. Повніше і точніше формулювання задачі звучить приблизно так:
Уявіть собі, що ви берете участь у грі, в якій ви знаходитесь перед трьома дверима. Ведучий, про якого відомо, що він чесний, помістив за одними з дверей автомобіль, а за двома іншими — по козі. У вас немає ніякої інформації про те, за якими дверима що знаходиться. Ведучий каже вам: «Спочатку ви маєте обрати одні з дверей. Після цього я відкрию одні з дверей, які залишилися, за якими знаходиться коза. Потім я запропоную вам змінити свій початковий вибір і вибрати інші зачинені двері замість тих, що ви вибрали спочатку. Ви можете зробити як я раджу, або підтвердити свій початковий вибір. Після вашого остаточного рішення я відкрию двері, які ви вибрали, і ви виграєте те, що знаходиться за цими дверима.»
Ви обираєте двері номер 1. Ведучий відчиняє двері номер 3 і показує, що за ними знаходиться коза. Після цього ведучий пропонує вам обрати двері номер 2. Чи збільшаться ваші шанси виграти автомобіль, якщо ви послухаєте його?
В даній задачі вважається, що відкриття ведучим дверей з козою не несе ніякої інформації про те, що знаходиться за дверима, які спочатку обрав гравець. Найпростіший спосіб досягти цього — зажадати, щоб у випадку, коли автомобіль знаходиться за дверима, які обрав гравець, ведучий відчиняв одні з дверей, що залишились, випадковим чином.
Спочатку ймовірність того, що учасник потрапить на автомобіль, дорівнює 1/3. Після того, як ведучий відчиняє двері, більшість людей вважає, що вона має бути 1/2, але це не так. Ведучий знає, де знаходиться автівка, і тому не відчиняє двері з автомобілем. І ймовірність була б 1/2 тільки тоді, коли б ведучий не знав розташування призів, і тоді відкриття дверей нічого б не змінювало.
Найістотнішим доповненням тут є те, що гравець знає, що після його вибору ведучий в будь-якому випадку відкриє двері з козою і в будь-якому випадку запропонує гравцю змінити вибір, тобто вчинення даних дій не дає гравцю ніякої інформації про те, правильним чи ні був його вибір.
Популярний розв'язок
Обираючи двері, гравець має 1 шанс з 3, що автомобіль розташований за дверима, які він обрав, і 2 шанси з 3, що за одними з інших. Коли ведучий відчиняє двері з козою за ними, гравець не отримує ніякої нової інформації про свій вибір, тобто ймовірність перебування машини за обраними гравцем дверима залишається 1/3. Тоді ймовірність того, що машина є за іншими зачиненими дверима, становить 2/3.Зміна вибору збільшує шанси вдвічі, тобто гравець має змінити вибір.У порядку приведення популярної історії до суворого математичного розв'язку може виникнути запитання: «Чому ймовірність того, що автомобіль є за дверима 1, не змінюється при відчиненні дверей з козою?» Для початку покажемо, що від того, що ми вільно переномеруємо двері, зокрема, якщо ми поміняємо місцями номери 2 і 3. Справді, умовна ймовірність того, що машина була за дверима 1, при виборі гравцем дверей 1 і відчиненні ведучим дверей 2, така ж як і умовна ймовірність того, що машина була за дверима 1 при тому ж виборі гравця і відчиненні ведучим дверей 3. Середнє значення цих двох рівних ймовірностей 1/3, отже ймовірність кожної з них становить 1/3 також.
Розбір гри може бути реалізований у вигляді ілюстрації рівноймовірних виборів гравця: машини, кози А та кози Б:
| |||||||||||||||||||||||||||
Гравець має однакові початкові шанси виграти машину, козу А або козу Б. Зміна вибору змінює результат на виграшний в 2/3 випадків. |
Попередня діаграма показує, що гравець, який змінює рішення, завжди отримує результат, відмінний від його початкового вибору, і, виходячи з того, що ймовірність одразу обрати машину вдвічі менша за ймовірність обрати козу, змінити рішення завжди вигідно. Інакше кажучи, ймовірність одразу обрати козу — 2/3, а машину — 1/3. Після того, як ведучий відкриває двері з козою, гравець, який обрав двері з козою перед цим, обов'язково виграє машину, а гравець, який спочатку обрав машину, обов'язково виграє козу. Таким чином, саме зміна рішення є слушною стратегією.
Інший шлях для розуміння розв'язку — розглядати двоє невибраних дверей разом..
Як вказує Сесіл Адамс, «Ефект пропозиції ведучого такий: ви можете залишити свої двері, а можете обрати двоє інших». Гравець мусить вирішувати, чи залишатися з початковим вибором, чи обрати суму того, що знаходиться за іншими дверима. Ймовірність того, що автівка схована за одними з інших дверей, не змінюється від того, що одні з них відкрили, і дорівнює 2/3.
Як говорить Кейф Девлін, «По відчиненні своїх дверей ведучий каже гравцю 'Ось двоє дверей, які ви не обрали, і ймовірність того, що приз за одними з них — 2/3. Я допоміг вам, відкривши одні з них, і ви могли побачити, що приз там не сховано. Тепер ви можете скористатися цією інформацією. Ваш вибір дверей 1 має шанс на виграш 1 з 3. Я не змінив це. Але тим, що я відкрив двері 3, я показав вам, що ймовірність того, що приз за останніми дверима — 2 з 3.'»
Математичний підхід
Задачу можна розв'язати використавши теорему Баєса. Введемо наступні випадкові величини:
- : двері, за якими схована машина,
- : номер дверей, обраних гравцем, і
- : номер дверей, відкритих ведучим.
Через те, що розташування машини довільне, усі значення C однаково ймовірні. Тоді початкова (безумовна) ймовірність C
- , для будь-якого C.
Далі, через те, що вибір гравця ніяк не залежить від розташування машини, змінні C і S незалежні. Таким чином умовна ймовірність C при даному S становить
- , для кожного C та S.
Поведінка ведучого визначається значенням умовної ймовірності H при даних C та S:
-
if H = S, (ведучий не може відкрити двері, обрані гравцем) if H = C, (ведучий не може обрати двері з машиною позаду) if S = C, (обидві двері без машини можуть бути відкриті з однаковою йомовірністю) if H C and S C, (тільки одні двері можуть бути відкриті)
Гравець може використати правило Баєса для підрахунку ймовірності знаходження машини за будь-якими дверима, після його початкового вибору і відкриття дверей ведучим. Це є умовна ймовірність C при даних H і S:
- ,
де знаменник обчислюється як безумовна ймовірність
- .
Таким чином, якщо гравець початково обирає двері 1, і ведучий відкриває двері 3, ймовірність, що автомобіль за дверима 2, при зміні вибору становить
Примітки
- Whitaker, Craig F. (1990). [Letter]. «Ask Marilyn» column, Parade Magazine p. 16 (9 September 1990).
- Schwager, Jack D. (1994). The New Market Wizards. Harper Collins. с. 397. ISBN .
- Mack, Donald R. (1992). The Unofficial IEEE Brainbuster Gamebook. Wiley-IEEE. с. 76. ISBN .
- vos Savant, Marilyn (1996). The Power of Logical Thinking. St. Martin's Press. ISBN .
- Martin, Robert M. (2002). There are two errors in the the title of this book (вид. 2nd). Broadview Press. с. 57—59. ISBN .
- The Monty Hall puzzle. The Economist. Т. 350. The Economist Newspaper. 1999. с. 110.
- Cecil Adams (1990).«On 'Let's Make a Deal,' you pick Door #1. Monty opens Door #2—no prize. Do you stay with Door #1 or switch to #3?», The Straight Dope, (November 2, 1990). Retrieved July 25, 2005.
- Devlin, Keith (July – August 2003). Devlin's Angle: Monty Hall. The Mathematical Association of America. Архів оригіналу за 6 липня 2013. Процитовано 25 квітня 2008.
- Williams, Richard (2004). Appendix D: The Monty Hall Controversy (PDF). Course notes for Sociology Graduate Statistics I. Архів (PDF) оригіналу за 6 липня 2013. Процитовано 25 квітня 2008.
- Jeff Stibel, Dror, Itiel, & Ben-Zeev, Talia (2008). "The Collapsing Choice Theory: Dissociating Choice and Judgment in Decision Making [ 15 червня 2021 у Wayback Machine.], " Theory and Decision. Full paper can be found at ResearchGate.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Parado ks Monti Golla odna z vidomih zadach teoriyi jmovirnostej rozv yazok yakoyi na pershij poglyad superechit zdorovomu gluzdu Zadacha formulyuyetsya yak opis gipotetichnoyi gri zasnovanoyi na amerikanskomu teleshou en Cya zadacha nazvana na chest veduchogo ciyeyi peredachi Monti Golla Najbilsh rozpovsyudzhena versiya gri bula opublikovana v 1990 roci v zhurnali Parade Magazine i zvuchit tak V poshukah avtivki gravec obiraye dveri pid nomerom 1 Todi veduchij vidchinyaye treti dveri za yakimi znahoditsya koza i proponuye gravcyu zminiti vibir na drugi dveri Chi varto jomu ce robiti Uyavit sebe na telegri de vam potribno obrati odni z troh dverej za odnimi z nih avtomobil za dvoma inshimi po kozi Vi obirayete odni dveri napriklad pershi veduchij vidchinyaye odni z dvoh inshih napriklad treti za yakimi koza Todi vin kazhe vam Bazhayete zminiti vibir na drugi dveri Chi otrimayete vi perevagu yaksho zminite svij vibir Hocha dane formulyuvannya vvazhayetsya najvidomishim vono ye desho problematichnim oskilki deyaki vazhlivi umovi neviznacheni Nizhche navoditsya povne formulyuvannya Pri rozv yazanni ciyeyi zadachi zazvichaj rozmirkovuyut priblizno tak pislya togo yak veduchij vidchiniv dveri za yakimi znahoditsya koza avtomobil mozhe buti za odnimi z dvoh dverej sho zalishilis Oskilki gravec ne mozhe otrimati niyakoyi dodatkovoyi informaciyi pro te za yakimi dverima znahoditsya avtomobil to jmovirnist znahodzhennya avtomobilya za kozhnimi z dverej odnakova i zmina viboru ne daye gravcyu dodatkovih perevag Odnak takij hid rozdumiv nepravilnij Yaksho veduchij zavzhdi znaye za yakimi dverima sho znahoditsya to vin zavzhdi vidchinyaye ti dveri za yakimi znahoditsya koza i zavzhdi proponuye gravcyu zminiti vibir todi jmovirnist togo sho avtomobil znahoditsya za dverima yaki buli obrani spochatku dorivnyuye 1 3 i vidpovidno jmovirnist togo sho avtomobil znahoditsya za dverima sho zalishilis dorivnyuye 2 3 Takim chinom zmina pochatkovogo viboru zbilshuye shansi gravcya vdvichi Cej visnovok superechit intuyitivnomu sprijnyattyu bilshosti lyudej tomu cya zadacha i nazivayetsya paradoksom Monti Holla Tochnishe postavlennya zadachiNajrozpovsyudzhenishe formulyuvannya zadachi na zhal ne zovsim pravilne oskilki zalishaye neviznachenimi dekilka istotnih umov Povnishe i tochnishe formulyuvannya zadachi zvuchit priblizno tak Uyavit sobi sho vi berete uchast u gri v yakij vi znahodites pered troma dverima Veduchij pro yakogo vidomo sho vin chesnij pomistiv za odnimi z dverej avtomobil a za dvoma inshimi po kozi U vas nemaye niyakoyi informaciyi pro te za yakimi dverima sho znahoditsya Veduchij kazhe vam Spochatku vi mayete obrati odni z dverej Pislya cogo ya vidkriyu odni z dverej yaki zalishilisya za yakimi znahoditsya koza Potim ya zaproponuyu vam zminiti svij pochatkovij vibir i vibrati inshi zachineni dveri zamist tih sho vi vibrali spochatku Vi mozhete zrobiti yak ya radzhu abo pidtverditi svij pochatkovij vibir Pislya vashogo ostatochnogo rishennya ya vidkriyu dveri yaki vi vibrali i vi vigrayete te sho znahoditsya za cimi dverima Vi obirayete dveri nomer 1 Veduchij vidchinyaye dveri nomer 3 i pokazuye sho za nimi znahoditsya koza Pislya cogo veduchij proponuye vam obrati dveri nomer 2 Chi zbilshatsya vashi shansi vigrati avtomobil yaksho vi posluhayete jogo V danij zadachi vvazhayetsya sho vidkrittya veduchim dverej z kozoyu ne nese niyakoyi informaciyi pro te sho znahoditsya za dverima yaki spochatku obrav gravec Najprostishij sposib dosyagti cogo zazhadati shob u vipadku koli avtomobil znahoditsya za dverima yaki obrav gravec veduchij vidchinyav odni z dverej sho zalishilis vipadkovim chinom Spochatku jmovirnist togo sho uchasnik potrapit na avtomobil dorivnyuye 1 3 Pislya togo yak veduchij vidchinyaye dveri bilshist lyudej vvazhaye sho vona maye buti 1 2 ale ce ne tak Veduchij znaye de znahoditsya avtivka i tomu ne vidchinyaye dveri z avtomobilem I jmovirnist bula b 1 2 tilki todi koli b veduchij ne znav roztashuvannya priziv i todi vidkrittya dverej nichogo b ne zminyuvalo Najistotnishim dopovnennyam tut ye te sho gravec znaye sho pislya jogo viboru veduchij v bud yakomu vipadku vidkriye dveri z kozoyu i v bud yakomu vipadku zaproponuye gravcyu zminiti vibir tobto vchinennya danih dij ne daye gravcyu niyakoyi informaciyi pro te pravilnim chi ni buv jogo vibir Populyarnij rozv yazokObirayuchi dveri gravec maye 1 shans z 3 sho avtomobil roztashovanij za dverima yaki vin obrav i 2 shansi z 3 sho za odnimi z inshih Koli veduchij vidchinyaye dveri z kozoyu za nimi gravec ne otrimuye niyakoyi novoyi informaciyi pro svij vibir tobto jmovirnist perebuvannya mashini za obranimi gravcem dverima zalishayetsya 1 3 Todi jmovirnist togo sho mashina ye za inshimi zachinenimi dverima stanovit 2 3 Zmina viboru zbilshuye shansi vdvichi tobto gravec maye zminiti vibir U poryadku privedennya populyarnoyi istoriyi do suvorogo matematichnogo rozv yazku mozhe viniknuti zapitannya Chomu jmovirnist togo sho avtomobil ye za dverima 1 ne zminyuyetsya pri vidchinenni dverej z kozoyu Dlya pochatku pokazhemo sho vid togo sho mi vilno perenomeruyemo dveri zokrema yaksho mi pominyayemo miscyami nomeri 2 i 3 Spravdi umovna jmovirnist togo sho mashina bula za dverima 1 pri vibori gravcem dverej 1 i vidchinenni veduchim dverej 2 taka zh yak i umovna jmovirnist togo sho mashina bula za dverima 1 pri tomu zh vibori gravcya i vidchinenni veduchim dverej 3 Serednye znachennya cih dvoh rivnih jmovirnostej 1 3 otzhe jmovirnist kozhnoyi z nih stanovit 1 3 takozh Rozbir gri mozhe buti realizovanij u viglyadi ilyustraciyi rivnojmovirnih viboriv gravcya mashini kozi A ta kozi B 1 Veduchij vidkrivaye odnu z dvoh kiz Gravec obiraye mashinu jmovirnist 1 3 Zmina rishennya privodit do prograshu 2 Veduchij maye vidchiniti kozu B Gravec obiraye kozu A jmovirnist 1 3 Zmina rishennya privodit do vigrashu 3 Veduchij maye vidchiniti kozu A Gravec obiraye kozu B imovirnist 1 3 Zmina rishennya privodit do vigrashu Gravec maye odnakovi pochatkovi shansi vigrati mashinu kozu A abo kozu B Zmina viboru zminyuye rezultat na vigrashnij v 2 3 vipadkiv Poperednya diagrama pokazuye sho gravec yakij zminyuye rishennya zavzhdi otrimuye rezultat vidminnij vid jogo pochatkovogo viboru i vihodyachi z togo sho jmovirnist odrazu obrati mashinu vdvichi mensha za jmovirnist obrati kozu zminiti rishennya zavzhdi vigidno Inakshe kazhuchi jmovirnist odrazu obrati kozu 2 3 a mashinu 1 3 Pislya togo yak veduchij vidkrivaye dveri z kozoyu gravec yakij obrav dveri z kozoyu pered cim obov yazkovo vigraye mashinu a gravec yakij spochatku obrav mashinu obov yazkovo vigraye kozu Takim chinom same zmina rishennya ye slushnoyu strategiyeyu Vibir gravcya maye 1 3 shansu a inshi dvoye dverej mayut 2 3 shansu Vibir gravcya maye 1 3 shansu a inshi dvoye dverej mayut 2 3 shansu ci 2 3 rozdileni yak 2 3 dlya zachinenih dverej i 0 dlya dverej yaki vidkriv veduchij Inshij shlyah dlya rozuminnya rozv yazku rozglyadati dvoye nevibranih dverej razom Yak vkazuye Sesil Adams Efekt propoziciyi veduchogo takij vi mozhete zalishiti svoyi dveri a mozhete obrati dvoye inshih Gravec musit virishuvati chi zalishatisya z pochatkovim viborom chi obrati sumu togo sho znahoditsya za inshimi dverima Jmovirnist togo sho avtivka shovana za odnimi z inshih dverej ne zminyuyetsya vid togo sho odni z nih vidkrili i dorivnyuye 2 3 Yak govorit Kejf Devlin Po vidchinenni svoyih dverej veduchij kazhe gravcyu Os dvoye dverej yaki vi ne obrali i jmovirnist togo sho priz za odnimi z nih 2 3 Ya dopomig vam vidkrivshi odni z nih i vi mogli pobachiti sho priz tam ne shovano Teper vi mozhete skoristatisya ciyeyu informaciyeyu Vash vibir dverej 1 maye shans na vigrash 1 z 3 Ya ne zminiv ce Ale tim sho ya vidkriv dveri 3 ya pokazav vam sho jmovirnist togo sho priz za ostannimi dverima 2 z 3 Matematichnij pidhidZadachu mozhna rozv yazati vikoristavshi teoremu Bayesa Vvedemo nastupni vipadkovi velichini C 1 2 3 displaystyle C in 1 2 3 dveri za yakimi shovana mashina S 1 2 3 displaystyle S in 1 2 3 nomer dverej obranih gravcem i H 1 2 3 displaystyle H in 1 2 3 nomer dverej vidkritih veduchim Cherez te sho roztashuvannya mashini dovilne usi znachennya C odnakovo jmovirni Todi pochatkova bezumovna jmovirnist C P C 1 3 displaystyle P C tfrac 1 3 dlya bud yakogo C Dali cherez te sho vibir gravcya niyak ne zalezhit vid roztashuvannya mashini zminni C i S nezalezhni Takim chinom umovna jmovirnist C pri danomu S stanovit P C S P C displaystyle P C S P C dlya kozhnogo C ta S Povedinka veduchogo viznachayetsya znachennyam umovnoyi jmovirnosti H pri danih C ta S P H C S displaystyle P H C S begin cases end cases 0 displaystyle 0 if H S veduchij ne mozhe vidkriti dveri obrani gravcem 0 displaystyle 0 if H C veduchij ne mozhe obrati dveri z mashinoyu pozadu 1 2 displaystyle 1 2 if S C obidvi dveri bez mashini mozhut buti vidkriti z odnakovoyu jomovirnistyu 1 displaystyle 1 if H displaystyle neq C and S displaystyle neq C tilki odni dveri mozhut buti vidkriti Gravec mozhe vikoristati pravilo Bayesa dlya pidrahunku jmovirnosti znahodzhennya mashini za bud yakimi dverima pislya jogo pochatkovogo viboru i vidkrittya dverej veduchim Ce ye umovna jmovirnist C pri danih H i S P C H S P H C S P C S P H S displaystyle P C H S frac P H C S P C S P H S de znamennik obchislyuyetsya yak bezumovna jmovirnist P H S C 1 3 P H C S C 1 3 P H C S P C S displaystyle P H S sum C 1 3 P H C S sum C 1 3 P H C S P C S Takim chinom yaksho gravec pochatkovo obiraye dveri 1 i veduchij vidkrivaye dveri 3 jmovirnist sho avtomobil za dverima 2 pri zmini viboru stanovit P C 2 S 1 H 3 1 1 3 1 2 1 3 1 1 3 0 1 3 2 3 displaystyle P C 2 S 1 H 3 frac 1 times frac 1 3 frac 1 2 times frac 1 3 1 times frac 1 3 0 times frac 1 3 tfrac 2 3 dd PrimitkiWhitaker Craig F 1990 Letter Ask Marilyn column Parade Magazine p 16 9 September 1990 Schwager Jack D 1994 The New Market Wizards Harper Collins s 397 ISBN 9780887306679 Mack Donald R 1992 The Unofficial IEEE Brainbuster Gamebook Wiley IEEE s 76 ISBN 9780780304239 vos Savant Marilyn 1996 The Power of Logical Thinking St Martin s Press ISBN 0 312 15627 8 Martin Robert M 2002 There are two errors in the the title of this book vid 2nd Broadview Press s 57 59 ISBN 9781551114934 The Monty Hall puzzle The Economist T 350 The Economist Newspaper 1999 s 110 Cecil Adams 1990 On Let s Make a Deal you pick Door 1 Monty opens Door 2 no prize Do you stay with Door 1 or switch to 3 The Straight Dope November 2 1990 Retrieved July 25 2005 Devlin Keith July August 2003 Devlin s Angle Monty Hall The Mathematical Association of America Arhiv originalu za 6 lipnya 2013 Procitovano 25 kvitnya 2008 Williams Richard 2004 Appendix D The Monty Hall Controversy PDF Course notes for Sociology Graduate Statistics I Arhiv PDF originalu za 6 lipnya 2013 Procitovano 25 kvitnya 2008 Jeff Stibel Dror Itiel amp Ben Zeev Talia 2008 The Collapsing Choice Theory Dissociating Choice and Judgment in Decision Making 15 chervnya 2021 u Wayback Machine Theory and Decision Full paper can be found at ResearchGate