Задача Мінковського

Задача Мінковського:

Чи існує замкнута опукла гіперповерхня ${\displaystyle F}$, у якої кривина Гауса ${\displaystyle K(n)}$ є заданою функцією одиничного вектора зовнішньої нормалі ${\displaystyle n}$.

Поставлена Мінковським, якому належить узагальнене розвязання цієї задачі, в тому сенсі, що воно не містить жодної інформації про характер регулярності ${\displaystyle F}$, навіть якщо ${\displaystyle K(n)}$ — аналітична функція. Мінковський довів, що якщо на одиничній гіперсфері ${\displaystyle S}$ задана безперервна додатна функція ${\displaystyle K(n)}$, яка задовольняє умові: ${\displaystyle \int \limits _{S}{\frac {n}{K(n)}}ds=0,}$, то існує і єдина (з точністю до паралельного переносу) замкнена опукла поверхня ${\displaystyle F}$, для якої ${\displaystyle K(n)}$ є кривиною Гауса в точці з зовнішньою нормаллю ${\displaystyle n}$.

Регулярне рішення задачі Мінковського в Евклідовому просторі дано Погорєловим О. В. у 1971 році. Зокрема, він довів, що якщо ${\displaystyle K(n)}$ належить класу ${\displaystyle C^{m}}$, ${\displaystyle m\geq 3}$, то одержувана поверхня ${\displaystyle F}$ належить класу гладкості ${\displaystyle C^{m+1,\alpha }}$, а в випадку аналітичності ${\displaystyle K(n)}$, поверхня ${\displaystyle F}$ також буде аналітичною.

За рішення цієї проблеми Погорєлов О. В. був нагороджений Державною премією УРСР в 1974 році.

Варіації і узагальнення

• Існує узагальнення задачі Мінковського для Ріманова простору.

Див. також

• Теорема Мінковського

Література

1. Bodrenko A.I. The solution of the Minkowski problem for open surfaces in Riemannian space. [ 21 лютого 2020 у Wayback Machine.] Arxiv.org, 2007.

• Minkowski H. Volumen und Oberfläche, Mathematische Annalen, 57 (1903) 447—495
• Погорелов А. В., Многомерная проблема Минковского, М., 1971;
• Буземан Г., Выпуклые поверхности, пер. с англ.. М., 1964.