Жорсткість (геометрія)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Жорсткість.

Жорсткість — властивість підмноговиду ${\displaystyle M}$ у евклідовому просторі (або, загальніше, у просторі сталої кривини), полягає в тому, що будь-яка його ізометрична варіація (нескінченно мале вигинання) є тривіальною, тобто відповідне їй поле швидкостей на ${\displaystyle M}$ індукується полем Кіллінга на ${\displaystyle M}$. Питання про жорсткість підмноговидів — це є власне питання про єдиність розв'язку системи диференціальних рівнянь, що є лінеаризацією системи рівнянь для ізометричних згинань підмноговиду. Зокрема, якщо підмноговид допускає нетривіальне ізометричне вигинання, то він не є жорстким.

Приклади

• Замкнена строго опукла поверхня — жорстка (Вільгельм Бляшке, 1912 рік).
• Тор — жорсткий.
• Шматок площині із закріпленим краєм — нежорсткий.
• Сферичний сегмент ${\displaystyle S}$, дотичний краєм по площині, буде жорстким чи ні в залежності від того, менше або більше ${\displaystyle S}$ півсфери.
• Метричний добуток ${\displaystyle k}$ двовимірних сфер ${\displaystyle S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ є жорстким у евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3k}}$ і нежорстким у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3k+1}}$.

Варіації

Поняття жорсткості переносится також на багатогранники, див. теорема Коші про багатогранники.