Дія Ейнштейна — Гільберта

Дія Ейнштейна — Гільберта — дія, яка дозволяє виводити рівняння Ейнштейна у загальній теорії відносності через принцип найменшої дії. Гравітаційна частина дії дається формулою

${\displaystyle S={1 \over 2\kappa }\int R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x,}$

де ${\displaystyle g=\det(g_{\mu \nu })}$ — визначник метричного тензора, ${\displaystyle R}$ — скаляр Річі, а ${\displaystyle \kappa =8\pi Gc^{-4}}$ — гравітаційна стала Ейнштейна (${\displaystyle G}$ — гравітаційна стала, ${\displaystyle c}$ — швидкість світла у вакуумі). Застосування рівняння Ейлера — Лагранжа до дії Ейнштейна — Гільберта дає рівняння Ейнштейна.

Вперше цю дію запропонував Давид Гільберт у 1915 році.

Виведення рівнянь поля Ейнштейна

Виведення рівнянь руху з дії має кілька переваг. По-перше, це дозволяє легко поєднати загальну теорію відносності з іншими класичними теоріями поля (наприклад, теорією Максвелла), які також сформульовані в термінах дії. Крім того, симетрії дії дозволяють легко ідентифікувати збережувані величини за допомогою теореми Нетер.

Рівняння Ейнштейна в присутності матерії отримують додаванням дії матерії до дії Ейнштейна — Гільберта. Припустимо, що повна дія задана членом Ейнштейна — Гільберта плюс член ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$, який описує будь-які поля матерії, наявні в теорії:

${\displaystyle S=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$.

(1)

Тоді принцип найменшої дії говорить, що для виведення фізичного закону ми повинні вимагати, щоб варіація цієї дії зі змінами оберненої метрики дорівнювала нулю, що дає

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\delta S\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta \left({\sqrt {-g}}R\right)}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta \left({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right)}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}\left({\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta \left({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right)}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}$.

Оскільки це рівняння має виконуватися для будь-якої варіації ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }}$, то

${\displaystyle {\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2\kappa {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}}$

(2)

Права частина цього рівняння руху (за визначенням) пропорційна тензору енергії-імпульсу,

${\displaystyle T_{\mu \nu }:={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$.

Щоб обчислити ліву частину рівняння, нам потрібні варіації скаляра Річі ${\displaystyle R}$ і визначника метрики. Їх можна отримати за допомогою стандартних розрахунків, таких як наведені нижче розрахунки на основі підручника Керролла (2004).

Варіація скаляра Річі

Варіація скаляра Річі випливає з варіації тензора кривини Рімана, а потім тензора кривини Річі.

Перший крок фіксується ^[en]

${\displaystyle \delta R_{\sigma \nu }\equiv \delta {R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }=\nabla _{\rho }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\right)-\nabla _{\nu }\left(\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }\right)}$.

Використовуючи правило добутку, варіація скаляра Річі ${\displaystyle R=g^{\sigma \nu }R_{\sigma \nu }}$ перетворюються на

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+g^{\sigma \nu }\delta R_{\sigma \nu }\\&=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+\nabla _{\rho }\left(g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }\right),\end{aligned}}}$

де ми також використали метричну зв'язність ${\displaystyle \nabla _{\sigma }g^{\mu \nu }=0}$ і перейменували індекси підсумовування ${\displaystyle (\rho ,\nu )\rightarrow (\mu ,\rho )}$ в останньому члені.

При множенні на ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$, член ${\displaystyle \nabla _{\rho }\left(g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }\right)}$ стає повною похідною, оскільки для будь-якого вектора ${\displaystyle A^{\lambda }}$ і будь-якої тензорної густини ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,A^{\lambda }}$, ми маємо

${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,A_{;\lambda }^{\lambda }=\left({\sqrt {-g}}\,A^{\lambda }\right)_{;\lambda }=\left({\sqrt {-g}}\,A^{\lambda }\right)_{,\lambda }}$ або ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\nabla _{\mu }A^{\mu }=\nabla _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\,A^{\mu }\right)=\partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\,A^{\mu }\right)}$.

За теоремою Стокса, така повна похідна при інтегруванні дає лише граничний член. Цей граничний член в загальному випадку не дорівнює нулю, оскільки підінтегральна функція залежить не тільки від ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu },}$ а й від його часткових похідних ${\displaystyle \partial _{\lambda }\,\delta g^{\mu \nu }\equiv \delta \,\partial _{\lambda }g^{\mu \nu }}$. Подробиці наведені в статті ^[en]. Однак коли варіація метрики ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }}$ зникає в околицях границі або коли границі немає, цей член не дає внеску у варіацію дії. Таким чином, ми можемо забути про цей член і просто отримати

${\displaystyle {\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}=R_{\mu \nu }}$.

(3)

для подій не на замиканні границі.

Варіація визначника

^[en], правило диференціювання визначника, дає:

${\displaystyle \delta g=\delta \det(g_{\mu \nu })=gg^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }}$ ,

тобто можна перейти в систему координат, де ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ діагональна, а потім застосувати правило добутку, щоб продиференціювати добуток членів на головній діагоналі. Використовуючи це, ми отримуємо

${\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {-g}}}}\delta g={\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\left(g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }\right)=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\left(g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }\right)}$.

В останній рівності ми використали той факт, що

${\displaystyle g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }}$,

що випливає з правила диференціювання оберненої матриці

${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \alpha }\left(\delta g_{\alpha \beta }\right)g^{\beta \nu }}$.

Таким чином робимо висновок

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }}$.

(4)

Рівняння руху

Тепер, коли ми маємо в своєму розпорядженні всі необхідні варіації, ми можемо підставити (3) і (4) в рівняння руху (2) для метричного поля, отримуючи

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$,

(5)

яке є рівнянням поля Ейнштейна, а

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$

було обрано таким чином, щоб нерелятивістський граничний випадок давав звичайну форму ньютонівського закону всесвітнього тяжіння, де ${\displaystyle G}$ є гравітаційною сталою.

Космологічна стала

Коли в лагранжіан включена космологічна стала Λ, дія стає

${\displaystyle S=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$.

Беручи варіації за зворотною метрикою, отримуємо

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&=\int \left[{\frac {\sqrt {-g}}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\sqrt {-g}}{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}$

За принципом найменшої дії,

${\displaystyle 0=\delta S={\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}}$

Комбінуючи цей вираз із результатами, отриманими раніше:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}&=R_{\mu \nu }\\{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}&={\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}\\T_{\mu \nu }&={\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g_{\mu \nu }-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}\end{aligned}}}$

ми можемо отримати

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2\kappa }}R_{\mu \nu }+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}+\left({\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }{\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}\right)&=0\\R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }+\kappa \left(2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g_{\mu \nu }\right)&=0\\R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }-\kappa T_{\mu \nu }&=0\end{aligned}}}$

З ${\textstyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$ вираз стає рівнянням поля з космологічною сталою:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.}$

Примітки

1. Feynman, Richard P. (1995). Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley. p. 136, eq. (10.1.2). ISBN .
2. Die Grundlagen der Physik [Foundations of Physics], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse (German) , 3, 1915: 395—407
3. Blau, Matthias (27 липня 2020), Lecture Notes on General Relativity (PDF), с. 196
4. (2004), Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, San Francisco: Addison-Wesley, ISBN 

Література

• Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitation, W. H. Freeman, ISBN 
• (1984), General Relativity, University of Chicago Press, ISBN 
• (2004), Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, San Francisco: Addison-Wesley, ISBN 
• Hilbert, D. (1915) Die Grundlagen der Physik (German original for free) (English translation for $25), Konigl. Gesell. d. Wiss. Göttingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395—407
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), constant Cosmological constant, Математична енциклопедія, , ISBN 
• Feynman, Richard P. (1995), Feynman Lectures on Gravitation, Addison-Wesley, ISBN 
• Christopher M. Hirata Lecture 33: Lagrangian formulation of GR (27 April 2012).