Дужка Пуасона

Дужками Пуассона в класичній механіці називається вираз

${\displaystyle \{\varphi ,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right),}$

де ${\displaystyle \varphi }$ й ${\displaystyle g}$ — будь-які функції узагальнених координат ${\displaystyle q_{i}}$ та узагальнених імпульсів ${\displaystyle p_{i}}$, ${\displaystyle N}$ — кількість ступенів свободи системи.

Пуассонова дужка є класичним аналогом квантового комутатора.

Властивості

Властивості що випливають безпосередньо з математичного означення:

${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$

${\displaystyle \{\alpha f+\beta g,h\}=\alpha \{f,h\}+\beta \{g,h\}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\{f,g\}=\{{\frac {\partial f}{\partial t}},g\}+\{f,{\frac {\partial g}{\partial t}}\}}$

${\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}$

${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$ — тотожність Якобі

Важливою властивістю дужок Пуасона є їх інваріантність відносно канонічних перетворень — тобто відносно переходу до нового набору канонічних змінних ${\displaystyle Q_{1},...,P_{N}}$

${\displaystyle \{\varphi ,g\}=\sum _{i}^{N}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial P_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial Q_{i}}}-{\frac {\partial \varphi }{\partial Q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial P_{i}}}\right),}$

Якщо одна з функцій збігається з узагальненим імпульсом або координатою, тоді отримаємо:

${\displaystyle \{f,q_{i}\}={\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}}$

${\displaystyle \{p_{i},g\}={\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}}$

Якщо замінити і другу фунцію

${\displaystyle \{q_{j},q_{i}\}=\{p_{j},p_{i}\}=0}$

${\displaystyle \{p_{j},q_{i}\}=\delta _{ji}}$

Останні три тотожності — умова канонічності набору змінних ${\displaystyle q_{1},...,p_{N}}$

Кожен інтеграл руху ${\displaystyle \psi }$ повинен задовільняти рівнянню

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\{\psi ,H\}=0}$.

У випадку, коли ${\displaystyle \psi }$ не залежить від часу явно,

${\displaystyle \{H,\psi \}=0}$

Зокрема, з огляду на теорему Ліувілля густина станів у фазовому просторі ${\displaystyle \rho }$ повинна задовільняти

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\{\rho ,H\}=0}$.

Див. також

• Механіка Гамільтона
• Інтеграл руху
• Дужки Лагранжа

Джерела

• Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
• Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.