Узагальнені імпульси

Узагальнений імпульс - фізична змінна, яка визначається для кожної узагальненої координати механічної системи, й є водночас мірою швидкості зміни цієї координати та її інерційності.

Позначається зазвичай латинською літерою p.

Математичне визначення

Для механічної системи, що описується функцією Лагранжа ${\displaystyle {\mathcal {L}}(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}$, де ${\displaystyle q_{i}}$ узагальнені координати, а ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ - узагальнені швидкості, узагальнені імпульси ${\displaystyle p_{i}}$ для кожної з узагальнених координат визначаються співвідношенням:

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$.

Приклади

Нерелятивістська матеріальна точка

Наприклад, для матеріальної точки з масою m, що не взаємодіє з іншими тілами, функція Лагранжа дорівнює кінетичній енергії і має вигляд

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}={\frac {m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}{2}}}$.

Узагальнений імпульс

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=m{\dot {\mathbf {r} }}=m\mathbf {v} }$,

тобто збігається із звичайним імпульсом. Це означення залишається справедливим і для випадку взаємодії, яка не залежить від швидкості матеріальної точки.

Обертання

При обертанні абсолютно твердого тіла навколо осі, узагальненою координатою є кут повороту ${\displaystyle \varphi }$, узагальненою швидкістю - кутова швидкість ${\displaystyle \omega }$, а кінетична енергія дорівнює

${\displaystyle T={\frac {I\omega ^{2}}{2}}}$,

де I - момент інерції.

Узагальнений імпульс в такому випадку дорівнює

${\displaystyle p=I\omega \,}$

Див. також

• Механіка Гамільтона
• Фазовий простір

Джерела

• Федорченко А.М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.