У математиці, додавання матриць — це операція додавання двох матриць, що розраховується за допомогою додавання відповідних елементів. Однак існують й інші операції, які також можуть розглядатися як додавання матриць: пряма сума[⇨] та (сума Кронекера).
Процес додавання
Для додавання дві матриці повинні мати відповідну кількість рядків та стовпчиків. Сумою двох матриць A та B буде матриця з такою ж кількістю рядків та стовпців, що й у початкових матрицях. Сума A та B, що записується як A + B, розраховується за допомогою додавання відповідних елементів A та B:
Наприклад:
Також можна відняти одну матрицю від іншої, якщо вони мають однаковий розмір. A − B розраховується як віднімання відповідних елементів A та B. Матриця, що утвориться в результаті, буде мати такий самий розмір, як і A та B. Наприклад:
- Основні властивості операцій додавання матриць:
- A + B = B + A (комутативність).
- A + (B + C) = (A + B) + C (асоціативність).
- A + 0 = A, при будь-якій матриці. Для будь-якої матриці A існує протилежна матриця (-A), така, що A + (-A) = 0.
Пряма сума
Іншою операцією, що використовується рідше, є пряма сума (позначається ⊕). Зверніть увагу, що сума Кронекера також позначається ⊕; зрозуміти, яка операція мається на увазі, зазвичай можна з контексту. Пряма сума будь-якої пари матриць A розміру m × n та B розміру p × q — це матриця розміру (m + p) × (n + q), що визначається як
Наприклад,
Прямою сумою матриць є спеціальний вид блочної матриці, зокрема пряма сума квадратних матриць — (блочна діагональна матриця).
Загалом, пряма сума n матриць визначається як:
де нулі є фактично блоками нулів, тобто нульовими матрицями.
Сума Кронекера
Сума Кронекера відрізняється від прямої суми, але також позначається ⊕. Вона розраховується за допомогою добутка Кронекера ⊗ та звичайного додавання матриць. Якщо A — матриця розміру n×n, B — матриця розміру m×m і — одинична матриця розміру k×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера як
Примітки
- Elementary Linear Algebra by Rorres Anton 10e p53
- Lipschutz та Lipson.
- Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J. (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN .
- Weisstein, Eric W. Matrix Direct Sum(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Джерела
- Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum's Outline Series. ISBN .
- Direct sum of matrices на PlanetMath.(англ.)
- Abstract nonsense: Direct Sum of Linear Transformations and Direct Sum of Matrices [ 26 квітня 2012 у Wayback Machine.] (англ.)
- Mathematics Source Library: Arithmetic Matrix Operations [ 9 березня 2017 у Wayback Machine.] (англ.)
- (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici dodavannya matric ce operaciya dodavannya dvoh matric sho rozrahovuyetsya za dopomogoyu dodavannya vidpovidnih elementiv Odnak isnuyut j inshi operaciyi yaki takozh mozhut rozglyadatisya yak dodavannya matric pryama suma ta suma Kronekera Proces dodavannyaDlya dodavannya dvi matrici povinni mati vidpovidnu kilkist ryadkiv ta stovpchikiv Sumoyu dvoh matric A ta B bude matricya z takoyu zh kilkistyu ryadkiv ta stovpciv sho j u pochatkovih matricyah Suma A ta B sho zapisuyetsya yak A B rozrahovuyetsya za dopomogoyu dodavannya vidpovidnih elementiv A ta B A B a11a12 a1na21a22 a2n am1am2 amn b11b12 b1nb21b22 b2n bm1bm2 bmn a11 b11a12 b12 a1n b1na21 b21a22 b22 a2n b2n am1 bm1am2 bm2 amn bmn displaystyle begin aligned mathbf A mathbf B amp begin bmatrix a 11 amp a 12 amp cdots amp a 1n a 21 amp a 22 amp cdots amp a 2n vdots amp vdots amp ddots amp vdots a m1 amp a m2 amp cdots amp a mn end bmatrix begin bmatrix b 11 amp b 12 amp cdots amp b 1n b 21 amp b 22 amp cdots amp b 2n vdots amp vdots amp ddots amp vdots b m1 amp b m2 amp cdots amp b mn end bmatrix amp begin bmatrix a 11 b 11 amp a 12 b 12 amp cdots amp a 1n b 1n a 21 b 21 amp a 22 b 22 amp cdots amp a 2n b 2n vdots amp vdots amp ddots amp vdots a m1 b m1 amp a m2 b m2 amp cdots amp a mn b mn end bmatrix end aligned Napriklad 180798 002201 1 08 00 27 29 08 1 182999 displaystyle begin bmatrix 1 amp 8 0 amp 7 9 amp 8 end bmatrix begin bmatrix 0 amp 0 2 amp 2 0 amp 1 end bmatrix begin bmatrix 1 0 amp 8 0 0 2 amp 7 2 9 0 amp 8 1 end bmatrix begin bmatrix 1 amp 8 2 amp 9 9 amp 9 end bmatrix Takozh mozhna vidnyati odnu matricyu vid inshoyi yaksho voni mayut odnakovij rozmir A B rozrahovuyetsya yak vidnimannya vidpovidnih elementiv A ta B Matricya sho utvoritsya v rezultati bude mati takij samij rozmir yak i A ta B Napriklad 171298 050597 1 07 51 02 59 98 7 121 301 displaystyle begin bmatrix 1 amp 7 1 amp 2 9 amp 8 end bmatrix begin bmatrix 0 amp 5 0 amp 5 9 amp 7 end bmatrix begin bmatrix 1 0 amp 7 5 1 0 amp 2 5 9 9 amp 8 7 end bmatrix begin bmatrix 1 amp 2 1 amp 3 0 amp 1 end bmatrix Osnovni vlastivosti operacij dodavannya matric A B B A komutativnist A B C A B C asociativnist A 0 A pri bud yakij matrici Dlya bud yakoyi matrici A isnuye protilezhna matricya A taka sho A A 0 Pryama sumaInshoyu operaciyeyu sho vikoristovuyetsya ridshe ye pryama suma poznachayetsya Zvernit uvagu sho suma Kronekera takozh poznachayetsya zrozumiti yaka operaciya mayetsya na uvazi zazvichaj mozhna z kontekstu Pryama suma bud yakoyi pari matric A rozmiru m n ta B rozmiru p q ce matricya rozmiru m p n q sho viznachayetsya yak A B A00B a11 a1n0 0 am1 amn0 00 0b11 b1q 0 0bp1 bpq displaystyle mathbf A oplus mathbf B begin bmatrix mathbf A amp boldsymbol 0 boldsymbol 0 amp mathbf B end bmatrix begin bmatrix a 11 amp cdots amp a 1n amp 0 amp cdots amp 0 vdots amp ddots amp vdots amp vdots amp ddots amp vdots a m1 amp cdots amp a mn amp 0 amp cdots amp 0 0 amp cdots amp 0 amp b 11 amp cdots amp b 1q vdots amp ddots amp vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp cdots amp 0 amp b p1 amp cdots amp b pq end bmatrix Napriklad 132231 1601 13200231000001600001 displaystyle begin bmatrix 1 amp 3 amp 2 2 amp 3 amp 1 end bmatrix oplus begin bmatrix 1 amp 6 0 amp 1 end bmatrix begin bmatrix 1 amp 3 amp 2 amp 0 amp 0 2 amp 3 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 amp 6 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 1 end bmatrix Pryamoyu sumoyu matric ye specialnij vid blochnoyi matrici zokrema pryama suma kvadratnih matric blochna diagonalna matricya Zagalom pryama suma n matric viznachayetsya yak i 1nAi diag A1 A2 A3 An A10 00A2 0 00 An displaystyle bigoplus i 1 n mathbf A i rm diag mathbf A 1 mathbf A 2 mathbf A 3 cdots mathbf A n begin bmatrix mathbf A 1 amp boldsymbol 0 amp cdots amp boldsymbol 0 boldsymbol 0 amp mathbf A 2 amp cdots amp boldsymbol 0 vdots amp vdots amp ddots amp vdots boldsymbol 0 amp boldsymbol 0 amp cdots amp mathbf A n end bmatrix de nuli ye faktichno blokami nuliv tobto nulovimi matricyami Suma KronekeraDokladnishe Dobutok Kronekera Suma Kronekera vidriznyayetsya vid pryamoyi sumi ale takozh poznachayetsya Vona rozrahovuyetsya za dopomogoyu dobutka Kronekera ta zvichajnogo dodavannya matric Yaksho A matricya rozmiru n n B matricya rozmiru m m i Ik displaystyle I k odinichna matricya rozmiru k k todi mi mozhemo viznachiti sumu Kronekera displaystyle oplus yak A B A Im In B displaystyle mathbf A oplus mathbf B mathbf A otimes mathbf I m mathbf I n otimes mathbf B PrimitkiElementary Linear Algebra by Rorres Anton 10e p53 Lipschutz ta Lipson Riley K F Hobson M P Bence S J 2010 Mathematical methods for physics and engineering Cambridge University Press ISBN 978 0 521 86153 3 Weisstein Eric W Matrix Direct Sum angl na sajti Wolfram MathWorld DzherelaLipschutz S Lipson M 2009 Linear Algebra Schaum s Outline Series ISBN 978 0 07 154352 1 Direct sum of matrices na PlanetMath angl Abstract nonsense Direct Sum of Linear Transformations and Direct Sum of Matrices 26 kvitnya 2012 u Wayback Machine angl Mathematics Source Library Arithmetic Matrix Operations 9 bereznya 2017 u Wayback Machine angl angl