Дифероморфізми Аносова

У теорії динамічних систем, галузі математики, дифеоморфізми Аносова — введений ^[ru] клас відображень з хаотичною динамікою, динаміка яких стійка відносно малих збурень.

Визначення

Дифеоморфізм ${\displaystyle f:M\rightarrow M}$ — дифеоморфізм Аносова, якщо він гіперболічний на всьому многовиді M. А саме, існує розклад дотичного розшаровання TM у пряму суму двох неперервних підрозшаровань, E^u і E^s, інваріантний відносно динаміки, причому на E^u динаміка експоненційно розтягує, а на E^s — експоненційно стискає:

${\displaystyle \|f^{n}(v)\|\leq c_{1}\,\lambda ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{s},}$

${\displaystyle \|f^{n}(v)\|\geq c_{2}\,\mu ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{u},}$

де ${\displaystyle c_{1},c_{2}>0}$ і ${\displaystyle \mu >1>\lambda >0}$ — сталі.

Властивість

• Дифеоморфізми Аносова структурно стійкі: для будь-якого аносівського дифеоморфізму f існує такий його окіл у просторі дифеоморфізмів класу C¹, будь-який дифеоморфізм g з якого спряжений з f деяким гомеоморфізмом h:

${\displaystyle f\circ h=h\circ g.}$

Іншими словами, Динаміка малого збурення f відрізняється від самого f тільки заміною координат (правда, лише неперервною!).

• Частину визначення, що стосується розтягування, можна переписати як стиснення в зворотному часі:

${\displaystyle \|f^{-n}(v)\|\leq c_{3}\,\mu ^{-n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{u}.}$

Приклад

Найвідомішим прикладом дифеоморфізму Аносова є дія відображення ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right)}$ на двовимірному торі ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$.

Загальніше, якщо матриця ${\displaystyle A\in SL_{n}(\mathbb {Z} )}$ не має власних значень, рівних за модулем одиниці, то спуск дії ${\displaystyle A}$ на тор ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$ (коректно визначений, оскільки ${\displaystyle A}$ зберігає ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$) буде дифеоморфізмом Аносова.

Див. також

• Атрактор Пликіна

Література

• В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М. : Наука, 1978.
• ^[ru], ^[de]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М. : МЦНМО, 2005. — 464 с. — .