Градієнт функції

Градіє́нт, ґрадіє́нт — міра зростання або спадання в просторі якоїсь фізичної величини на одиницю довжини.

Операція градієнта перетворює пагорб (ліворуч), якщо дивитися на нього зверху, на поле векторів (праворуч). Видно, що вектори спрямовані «вгору», і чим крутіший нахил, тим вони довші.

Для позначення градієнта використовується оператор Гамільтона ${\displaystyle \nabla }$, або оператор ${\displaystyle \operatorname {grad} }$.

Математичне формулювання

Градієнт, як завжди вважають, — векторна величина, яка визначає в кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від координат. Але при замінах координат градієнт перетворюється інакше, ніж вектор, і тому його не можна розглядати як справжній вектор.

Для скалярного поля ${\displaystyle U(x,y,z)\,}$ градієнт визначається формулою

${\displaystyle \nabla U=\mathrm {grad} \,U={\frac {\partial U}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial U}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial U}{\partial z}}\mathbf {k} }$

де ${\displaystyle \mathbf {i} }$, ${\displaystyle \mathbf {j} }$, ${\displaystyle \mathbf {k} }$ — орти системи відліку.

Це означення узагальнюється на простори будь-якої розмірності

${\displaystyle \nabla U=\sum _{i}{\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}\mathbf {e} _{i}}$.

Приклади

Градієнт скалярного поля

Градієнт скалярного поля (англ. gradient of scalar field, нім. Skalarfeld-Gradient m) — вектор, проєкціями якого на координатні осі є частинні похідні функції, яка описує дане поле. Практичне тлумачення полягає в тому, що він визначає напрям, у якому задане скалярне поле змінюється найшвидше.

Градієнт тиску

Градієнт тиску (англ. pressure gradient; нім. Druckgradient m, Druckgefälle n) — втрата тиску на одиниці довжини шляху руху рідини (газу).

Градієнт метановості вугільних шахт

Градієнт метановості вугільних шахт (англ. gradient of methane content of coal-mine, нім. Methanmengegradient m in den Grubenbauen) — приріст середньої відносної газовості вугільних шахт при зануренні гірничих робіт в зону метанових газів. Здебільшого вимірюється в м³/т при заглибленні на 1 або 100 м.

Див. також

• Градієнтометр гравітаційний
• Градієнтометр магнітний
• Градієнтний спуск
• Градієнт температури
• Градієнт тиску (нафтогазовидобування)

Література

• Градієнт, стр. 143 — М. І. Жалдак, Г. О. Михалін, С. Я. Деканов.  — Київ, НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. — 430 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)
• Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т.Фоменко. (1986). Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, стр. 30. Москва: Наука.(рос.)
• Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2004. — Т. 1 : А — К. — 640 с. — .

Посилання

• . Khan Academy. Архів оригіналу за 7 серпня 2018. Процитовано 7 серпня 2018.
• Kuptsov, L.P. (2001), Gradient, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN .
• Weisstein, Eric W. Gradient(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.