Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Гомологічна дзеркальна симетрія — математична гіпотеза, висловлена Максимом Концевичом. Вона виникла як спроба описати математичну природу явища, вперше поміченого фізиками в теорії струн.
Історія
У посланні до Міжнародного математичного конгресу 1994 року в Цюриху Концевич припустив, що дзеркальна симетрія для пари многовидів Калабі — Яу X і Y можна пояснити як еквівалентність [en], отриманої методами алгебричної геометрії ([en] [en] на X) та іншої тріангульованої категорії, що будується за допомогою симплектичної геометрії (похідної [en] на Y).
Едвард Віттен спочатку описав топологічне твістування N = (2,2) суперсиметричної теорії поля в тому, що він назвав A- і B-моделями [en]. У цих моделях розглядаються відображення ріманових поверхонь у так звані таргет-простори — зазвичай це многовиди Калабі — Яу. Більшість математичних прогнозів дзеркальної симетрії укладаються в рамки відомої з фізики еквівалентності A-моделі на Y і B-моделі на дзеркальному йому X. Ріманові поверхні, як многовиди без краю, можуть бути світовою поверхнею (worldsheet) замкнутої струни. Щоб описати випадок відкритих струн, додатково потрібно задати граничні умови, причому такі, що зберігають суперсиметрії. В A-моделі ці граничні умови мають форму лагранжевості підмноговидів Y з деякою додатковою структурою (званою іноді структурою брани). У B-моделі ці граничні умови мають форму голоморфності підмноговидів X з наявністю голоморфного векторного розшарування на них. Ці об'єкти й використовують для побудови описуваних тріангульованих категорій. Їх називають A- і B-браною відповідно. Морфізми в цих категоріях — усі безмасові відкриті струни, натягнуті між двома бранами.
Для замкнутих струн A- і B-моделі охоплюють тільки топологічний сектор — малу частину всієї теорії струн. Аналогічно, брани в цих моделях є лише топологічними наближеннями до повного динамічного об'єкту — [en]. Так чи інакше, математика навіть у цьому малому секторі теорії струн і глибока, і складна.
Приклади
Математикам вдалося перевірити цю гіпотезу тільки на кількох прикладах. У своєму початковому посланні Концевич згадав, що гіпотезу можна довести для еліптичних кривих з використанням тета-функцій. Керуючись цим припущенням, [en] і Олександр Поліщук надали доведення цієї гіпотези для еліптичних кривих. [en] навів фрагменти доведення для . Пізніше, Концевич і [en] надали доведення істотної частини обговорюваної гіпотези для неособливих [en] над афінними многовидами, використовуючи ідеї [en]. 2003 року Пол Сайдел довів гіпотезу для [en].
Ромб Ходжа
Наведену нижче таблицю називають ромбом Ходжа. Тут hp,q — розмірності просторів (p,q)-диференціальних форм — розташовані так, щоб координати (p,q) утворювали сторони ромба. У тривимірному випадку p і q пробігають цілі значення від нуля до трійки, і ромб Ходжа, наприклад, для комплексно двовимірного многовиду має такий вигляд:
h2,2 h2,1 h1,2 h2,0 h1,1 h0,2 h1,0 h0,1 h0,0
У разі еліптичної кривої, яка є комплексно одновимірним многовидом Калабі — Яу, ромб Ходжа особливо простий:
1 1 1 1
У разі [ru], яка є комплексно двовимірним многовидом Калабі — Яу, оскільки її числа Бетті {1, 0, 22, 0, 1}, ромб Ходжа виглядає так:
1 0 0 1 20 1 0 0 1
Многовиди Калабі — Яу комплексної розмірності три є першим нетривіальним прикладом дзеркальної симетрії. Дзеркально симетричні один одному пари (назвемо їх M і W) відображаються один в одного при симетрії відносно вертикальної прямої.
Ромб Ходжа многовиду M:
1 0 0 0 a 0 1 b b 1 0 a 0 0 0 1
Ромб Ходжа многовиду W:
1 0 0 0 b 0 1 a a 1 0 b 0 0 0 1
M і W відповідають A- і B-моделям у теорії струн. Дзеркальна симетрія не просто переставляє числа Бетті, вона переставляє симплектичну і комплексну структури дзеркально симетричних многовидів. У цьому суть гомологічної дзеркальної симетрії.
Посилання
- Kontsevich, Maxim (1994), Homological algebra of mirror symmetry, arXiv:alg-geom/9411018.
- Kontsevich, Maxim; (2000), Homological Mirror Symmetry and torus fibrations, arXiv:math.SG/0011041.
- Seidel, Paul (2003), Homological mirror symmetry for the quartic surface, arXiv:math.SG/0310414.
- Hausel, Tamas; Thaddeus, Michael (2002), Mirror symmetry, Langlands duality, and the Hitchin system, arXiv:math.DG/0205236
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Gomologichna dzerkalna simetriya matematichna gipoteza vislovlena Maksimom Koncevichom Vona vinikla yak sproba opisati matematichnu prirodu yavisha vpershe pomichenogo fizikami v teoriyi strun IstoriyaU poslanni do Mizhnarodnogo matematichnogo kongresu 1994 roku v Cyurihu Koncevich pripustiv sho dzerkalna simetriya dlya pari mnogovidiv Kalabi Yau X i Y mozhna poyasniti yak ekvivalentnist en otrimanoyi metodami algebrichnoyi geometriyi en en na X ta inshoyi triangulovanoyi kategoriyi sho buduyetsya za dopomogoyu simplektichnoyi geometriyi pohidnoyi en na Y Edvard Vitten spochatku opisav topologichne tvistuvannya N 2 2 supersimetrichnoyi teoriyi polya v tomu sho vin nazvav A i B modelyami en U cih modelyah rozglyadayutsya vidobrazhennya rimanovih poverhon u tak zvani target prostori zazvichaj ce mnogovidi Kalabi Yau Bilshist matematichnih prognoziv dzerkalnoyi simetriyi ukladayutsya v ramki vidomoyi z fiziki ekvivalentnosti A modeli na Y i B modeli na dzerkalnomu jomu X Rimanovi poverhni yak mnogovidi bez krayu mozhut buti svitovoyu poverhneyu worldsheet zamknutoyi struni Shob opisati vipadok vidkritih strun dodatkovo potribno zadati granichni umovi prichomu taki sho zberigayut supersimetriyi V A modeli ci granichni umovi mayut formu lagranzhevosti pidmnogovidiv Y z deyakoyu dodatkovoyu strukturoyu zvanoyu inodi strukturoyu brani U B modeli ci granichni umovi mayut formu golomorfnosti pidmnogovidiv X z nayavnistyu golomorfnogo vektornogo rozsharuvannya na nih Ci ob yekti j vikoristovuyut dlya pobudovi opisuvanih triangulovanih kategorij Yih nazivayut A i B branoyu vidpovidno Morfizmi v cih kategoriyah usi bezmasovi vidkriti struni natyagnuti mizh dvoma branami Dlya zamknutih strun A i B modeli ohoplyuyut tilki topologichnij sektor malu chastinu vsiyeyi teoriyi strun Analogichno brani v cih modelyah ye lishe topologichnimi nablizhennyami do povnogo dinamichnogo ob yektu en Tak chi inakshe matematika navit u comu malomu sektori teoriyi strun i gliboka i skladna PrikladiMatematikam vdalosya pereviriti cyu gipotezu tilki na kilkoh prikladah U svoyemu pochatkovomu poslanni Koncevich zgadav sho gipotezu mozhna dovesti dlya eliptichnih krivih z vikoristannyam teta funkcij Keruyuchis cim pripushennyam en i Oleksandr Polishuk nadali dovedennya ciyeyi gipotezi dlya eliptichnih krivih en naviv fragmenti dovedennya dlya Piznishe Koncevich i en nadali dovedennya istotnoyi chastini obgovoryuvanoyi gipotezi dlya neosoblivih en nad afinnimi mnogovidami vikoristovuyuchi ideyi en 2003 roku Pol Sajdel doviv gipotezu dlya en Romb HodzhaNavedenu nizhche tablicyu nazivayut rombom Hodzha Tut hp q rozmirnosti prostoriv p q diferencialnih form roztashovani tak shob koordinati p q utvoryuvali storoni romba U trivimirnomu vipadku p i q probigayut cili znachennya vid nulya do trijki i romb Hodzha napriklad dlya kompleksno dvovimirnogo mnogovidu maye takij viglyad h2 2 h2 1 h1 2 h2 0 h1 1 h0 2 h1 0 h0 1 h0 0 U razi eliptichnoyi krivoyi yaka ye kompleksno odnovimirnim mnogovidom Kalabi Yau romb Hodzha osoblivo prostij 1 1 1 1 U razi ru yaka ye kompleksno dvovimirnim mnogovidom Kalabi Yau oskilki yiyi chisla Betti 1 0 22 0 1 romb Hodzha viglyadaye tak 1 0 0 1 20 1 0 0 1 Mnogovidi Kalabi Yau kompleksnoyi rozmirnosti tri ye pershim netrivialnim prikladom dzerkalnoyi simetriyi Dzerkalno simetrichni odin odnomu pari nazvemo yih M i W vidobrazhayutsya odin v odnogo pri simetriyi vidnosno vertikalnoyi pryamoyi Romb Hodzha mnogovidu M 1 0 0 0 a 0 1 b b 1 0 a 0 0 0 1 Romb Hodzha mnogovidu W 1 0 0 0 b 0 1 a a 1 0 b 0 0 0 1 M i W vidpovidayut A i B modelyam u teoriyi strun Dzerkalna simetriya ne prosto perestavlyaye chisla Betti vona perestavlyaye simplektichnu i kompleksnu strukturi dzerkalno simetrichnih mnogovidiv U comu sut gomologichnoyi dzerkalnoyi simetriyi PosilannyaKontsevich Maxim 1994 Homological algebra of mirror symmetry arXiv alg geom 9411018 Kontsevich Maxim 2000 Homological Mirror Symmetry and torus fibrations arXiv math SG 0011041 Seidel Paul 2003 Homological mirror symmetry for the quartic surface arXiv math SG 0310414 Hausel Tamas Thaddeus Michael 2002 Mirror symmetry Langlands duality and the Hitchin system arXiv math DG 0205236