Гауссовий q-розподіл

Гауссів q-розподіл — сімейство розподілів ймовірностей, що є q-аналогом гауссового або нормального розподілу. Включає в себе, рівномірний розподіл і нормальний (гауссів) розподіл як граничні випадки. Розподіл симетричний відносно нуля і обмежений, за винятком в граничному випадку нормального розподілу. Гауссів q-розподіл, уведений Діазом і Теруелем, використовується у математичній фізиці і теорії ймовірності та статистики.

Визначення

Нехай q дійсне число в інтервалі [0, 1).  Функція щільності ймовірності гауссового Q-розподілу задається наступним чином

${\displaystyle {\displaystyle s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}}}$

де

${\displaystyle {\displaystyle \nu =\nu (q)={\frac {1}{\sqrt {1-q}}},}{\displaystyle c(q)=2(1-q)^{1/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}q^{m(m+1)}}{(1-q^{2m+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{m}}}.}}$

Q-аналог ${\displaystyle [t]q}$ дійсного числа ${\displaystyle {\displaystyle t}}$ задається

${\displaystyle {\displaystyle [t]_{q}={\frac {q^{t}-1}{q-1}}.}}$

Гауссів Q-розподіл

Q-аналог експоненційної функції є Q-експонентів, ${\displaystyle E_{q}^{x}}$, яка задається

${\displaystyle {\displaystyle E_{q}^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }q^{j(j-1)/2}{\frac {x^{j}}{[j]!}}}}$

де Q-аналог факторіала є Q-факторіала, ${\displaystyle [n]q!}$, який, в свою чергу, заданої

${\displaystyle {\displaystyle [n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [2]_{q}\ ,}}$

для цілого ${\displaystyle n>2}$ і ${\displaystyle [1]q!=[0]q!=1.}$

Кумулятивна функція розподілу гауссового Q-розподілу задається

${\displaystyle {\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\[12pt]\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{x}E_{q^{2}}^{-q^{2}t^{2}/[2]}\,d_{q}t&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\[12pt]1&{\text{if }}x>\nu \end{cases}}}}$

Сукупний гауссів Q-розподіл.

де символ інтегрування позначає інтеграл Джексона.

Функція ${\displaystyle Gq}$ задається явно

${\displaystyle {\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu ,\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1-q}{c(q)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n(n+1)}(q-1)^{n}}{(1-q^{2n+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{n}}}x^{2n+1}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\1&{\text{if}}\ x>\nu \end{cases}}}}$

де

${\displaystyle {\displaystyle (a+b)_{q}^{n}=\prod _{i=0}^{n-1}(a+q^{i}b).}}$

Моменти

Моменти гауссового Q-розподілу задаються

${\displaystyle {\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n}\,d_{q}x=[2n-1]!!,}}$

${\displaystyle {\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n+1}\,d_{q}x=0,}}$

де символ [2n - 1] !!  є Q-аналог подвійного факторіала, який задається

${\displaystyle {\displaystyle [2n-1][2n-3]\cdots [1]=[2n-1]!!.\,}}$

Джерела

• Díaz, R.; Pariguan, E. (2009). "On the Gaussian q-distribution". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 358:
• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983
• http://prima.lnu.edu.ua/faculty/mechmat/Departments/mathstat/DVVS/2015-16/magistry/imitaciyne-modelyuvannia-system-masovoho-obsluhovuvannia.pdf Імітаційне [ 8 квітня 2017 у Wayback Machine.] моделювання систем масового обслуговування.