Власний розклад матриці

У лінійній алгебрі, власний розклад або спектральний розклад — це розклад матриці в канонічну форму, таким чином ми представляємо матрицю в термінах її власних значень і власних векторів. Тільки діагоналізовні матриці можна так розкласти.

Фундаментальна теорія власних векторів і значень матриці

Докладніше: Власний вектор

Вектор (ненульовий) v розмірності N є власним вектором квадратної (N×N) матриці A тоді і тільки тоді, коли він задовольняє лінійному рівнянню

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

де λ це скаляр, термін власне значення стосується v. Тобто, власні вектори це такі вектори, які лінійне перетворення A лише розтягує або скорочує і коефіцієнт розтягування/скорочення і є власним значенням.

Звідси походить рівняння для власних значень

${\displaystyle p\left(\lambda \right):=\det \left(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} \right)=0.\!\ }$

Ми звемо p(λ) характеристичним многочленом, а рівняння називають характеристичним рівнянням, воно являє собою многочленом порядку N з невідомою λ. Це рівняння матиме N_λ відмінних розв'язків, де 1 ≤ N_λ ≤ N . Множину розв'язків, тобто власних значень, іноді звуть спектром A.

Ми можемо розкласти p на множники

${\displaystyle p\left(\lambda \right)=(\lambda -\lambda _{1})^{n_{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{n_{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{k})^{n_{k}}=0.\!\ }$

Ціле n_i називається алгебричною кратністю власного значення λ_i. Сума всіх алгебраїчним кратностей дорівнює N:

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{N_{\lambda }}{n_{i}}=N.}$

Для кожного власного значення, λ_i, ми маємо особливе рівняння

${\displaystyle \left(\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} \right)\mathbf {v} =0.\!\ }$

Всього буде 1 ≤ m_i ≤ n_i лінійно незалежних розв'зяків для кожного власного значення. m_i розв'язків будуть власними векторами пов'язаними з власним значенням λ_i. Ціле m_i називають геометричною кратністю λ_i. Важливо пам'ятати, що алгебраїчне n_i і геометричне m_i кратні можуть бути однаковими і різними, але завжди m_i ≤ n_i. Найпростіший випадок це коли m_i = n_i = 1. Загальна кількість лінійно незалежних власних векторів, N_v, можна дізнатись додавши геометричні кратності

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{N_{\lambda }}{m_{i}}=N_{\mathbf {v} }.}$

Власні вектори можна проіндексувати по їх власним значенням, тобто із використанням подвійного індексування, з v_i,j, де j^й власний вектор i^го власного значення. Також це можна зробити з одним індексом v_k, з k = 1, 2, ..., N_v.

Власний розклад матриці

Нехай A буде квадратною (N×N) матрицею з N лінійно незалежними власними векторами, ${\displaystyle q_{i}\,\,(i=1,\dots ,N).}$ Тоді A можна розкласти як

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}}$

де Q це квадратна (N×N) матриця чиї i-ті стовпчики є власними векторами ${\displaystyle q_{i}}$ A і Λ це діагональна матриця чиї діагональні елементи є відповідними власними значеннями, тобто, ${\displaystyle \Lambda _{ii}=\lambda _{i}}$. Зауважте, що тільки діагоноалізовні матриці можна розкласти таким чином. Наприклад, матрицю, що на має N (2) незалежних власних векторів ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}}$ не можна діагоналізувати.

Зазвичай власні вектори ${\displaystyle q_{i}\,\,(i=1,\dots ,N)}$ нормалізують, але в цьому немає потреби. Ненормалізований набір власних векторів, ${\displaystyle v_{i}\,\,(i=1,\dots ,N),}$ також можна використовувати як стовпчики для Q. Це можна зрозуміти, зауваживши, що величина власних векторів у Q зникає в розкладі завдяки присутності Q⁻¹.

Приклад

Якщо за приклад для декомпозиції через множення на несингулярну матрицю ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}},[a,b,c,d]\in \mathbb {R} }$ в діагональну матрицю взяти дійсну матрицю ${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}}$.

Тоді

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&0\\0&y\\\end{bmatrix}}}$, для деякої дійсної діагональної матриці ${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&0\\0&y\\\end{bmatrix}}}$.

Перенесемо ${\displaystyle \mathbf {B} }$ на правий бік:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\\\end{bmatrix}}}$

Попереднє рівняння можна рознести в систему з двох рівнянь:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax\\cx\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}by\\dy\end{bmatrix}}\end{cases}}}$

Винесемо власні значення ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=y{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}$

Поклавши ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}={\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}},{\overrightarrow {b}}={\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}}$, отримаємо два векторних рівняння:

${\displaystyle {\begin{cases}A{\overrightarrow {a}}=x{\overrightarrow {a}}\\A{\overrightarrow {b}}=y{\overrightarrow {b}}\end{cases}}}$

І це можна представити як одне векторне рівняння, яке має два розв'язки як власні значення:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} }$

де ${\displaystyle \lambda }$ представляє два власних значення ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle \mathbf {u} }$ представляє вектори ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$ і ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$.

Перенесемо ${\displaystyle \lambda \mathbf {u} }$ ліворуч і винесемо за дужки ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {u} =0}$

Через те, що ${\displaystyle \mathbf {B} }$ несингулярна, тут важливо, що ${\displaystyle \mathbf {u} }$ не нуль,

${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=\mathbf {0} }$

Розглядаючи визначник ${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )}$,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-\lambda &0\\1&3-\lambda \end{bmatrix}}=0}$

Отже

${\displaystyle (1-\lambda )(3-\lambda )=0}$

Отримавши ${\displaystyle \lambda =1}$ і ${\displaystyle \lambda =3}$ як розв'язки власних значень для матриці ${\displaystyle \mathbf {A} }$, маємо в результаті діагональну матрицю ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}}}$ власного розкладу ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Впишемо розв'язки в систему рівнянь

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=3{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}$

Розв'язавши рівняння ми маємо ${\displaystyle a=-2c,a\in \mathbb {R} }$ and ${\displaystyle b=0,b\in \mathbb {R} }$

Отже матриця ${\displaystyle \mathbf {B} }$ потрібна для власного розкладу матриці ${\displaystyle \mathbf {A} }$ є ${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}},[c,d]\in \mathbb {R} }$. тобто :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\\\end{bmatrix}},[c,d]\in \mathbb {R} }$

Обернена матриця через власний розклад

Докладніше: Обернена матриця

Якщо матриця A має власний розклад і якщо жодне з її власних значень не дорівнює нулю, тоді A — несингулярна, тобто моє обернену і обернена задається так

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}}$

Далі більше, через те, що Λ діагональна, її обернену дуже легко обчислити:

${\displaystyle \left[\Lambda ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}}$

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
• Weisstein, Eric W. Власний розклад матриці(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.