Білінійна операція

Білінійне відображення — це відображення декартового добутку V × W в X

B : V × W → X,      (V,W,X — векторні простори над одним і тим самим полем F)

що володіє властивістю лінійності за кожним зі своїх аргументів.

• Тобто для кожного w з W відображення

v → B(v, w) є лінійним відображенням з V в X.

• І для кожного v з V відображення

w → B(v, w) є лінійним відображенням з W в X.

- це лінійне відображення від ${\displaystyle W}$ до ${\displaystyle X}$. Іншими словами, коли ми тримаємо перший запис білінійного відображення фіксованим, дозволяючи другому запису змінюватися, результат є лінійним оператором і аналогічно, коли ми тримаємо другий запис фіксованим. У випадку Таке відображення ${\displaystyle B}$ задовольняє наступним властивостям.

• ${\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {F} :\quad B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w)}$.
• Відображення ${\displaystyle B}$ є добавкою в обох компонентах: якщо ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ і ${\displaystyle w_{1},w_{2}\in W}$, тоді

${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$ and ${\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2})}$. Якщо V = W, і ми маємо B(v, w) = B(w, v) для всіх v, w in V, то ми говоримо , що B є симетричним . Якщо X - базове поле F , то відображення називають білінійною формою, яка добре вивчена (див., Наприклад, скалярний добуток, внутрішній добуток і квадратична форма).

Модулі

Роботи визначення без будь - яких змін , якщо замість векторних просторів над полем F , ми використовуємо модулі над комутативним кільцем R. Він узагальнює n-ари функції, де власний термін є мультилінійним. Для некомутативних кілець R і S, лівого R -модуля M і правого S -модуля N білінійне відображення - це відображення B : M × N → T з T (R, S) - бімодуля , і для якої будь-який n в N , m ↦ B(m, n) - R - модульний гомоморфізм, і для будь-якого m в M , n ↦ B(m, n) - модульний гомоморфізм. Це задовольняє

B(r ⋅ m, n) = r ⋅ B(m, n)

B(m, n ⋅ s) = B(m, n) ⋅ s

для всіх m в M , n в N , r в R і s в S , а також B, який є адитивним у кожному аргументі.

Властивості

• ${\displaystyle B(x,y)=0\iff x=0,y=0}$

Приклади

• Множення матриць є білінійним відображенням M(m,n) × M(n,p) → M(m,p).
• Для векторного простору V над полем F, білінійна форма в V — це білінійне відображення V × V → F.
• Векторний добуток в R³ є білінійним відображенням R³ × R³ → R³.

Див. також

• Білінійна форма

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е изд. — Новосибирск : Наука, 1970. — 400 с.(рос.)