Безумовна збіжність

В математичному аналізі, ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ в банаховому просторі X називається безумовно збіжним, якщо для довільної перестановки ${\displaystyle \sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$ ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}}$ є збіжним і ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}}$=${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$.

Властивості

• Довільний абсолютно збіжний ряд є безумовно збіжним, але обернене твердження є невірним. Проте, коли X = Rⁿ, тоді внаслідок теореми Рімана , ряд ${\displaystyle \sum x_{n}}$ є безумовно збіжним тоді і тільки тоді, коли він є абсолютно збіжним.
• Якщо ${\displaystyle \{x_{n}\}\,}$ послідовність елементів гільбертового простору H, то з безумовної збіжності ряду ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ випливає ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lVert x_{n}\rVert ^{2}<\infty .}$

Еквівалентні визначення

Можна дати кілька еквівалентних визначень безумовної збіжності: ряд є безумовно збіжним тоді і тільки тоді коли:

• для довільної послідовності ${\displaystyle (\varepsilon _{n})_{n=1}^{\infty }}$, де ${\displaystyle \varepsilon _{n}\in \{-1,+1\}}$, ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}}$ є збіжним.
• для довільної послідовності ${\displaystyle (\alpha _{n})_{n=1}^{\infty }}$, такої що ${\displaystyle \sup _{n}|\alpha _{n}|<\infty }$, ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}x_{n}}$ є збіжним.
• для довільної послідовності ${\displaystyle 1\leq k_{1}<k_{2}<\ldots }$, ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{k_{n}}}$ є збіжним.
• для довільного ${\displaystyle \epsilon >0}$ існує скінченна підмножина ${\displaystyle I\subset \mathbb {N} ,}$ така що ${\displaystyle \lVert \sum _{i\in J}x_{i}\rVert \,<\epsilon }$ для довільної скінченної підмножини ${\displaystyle J\subset \mathbb {N} \setminus I}$

Приклад

Нехай дано простір ${\displaystyle l^{p}\,,}$ де ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$ — банаховий простір числових послідовностей з нормою ${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$. Розглянемо в ньому послідовність ${\displaystyle x_{n}=(0,\ldots ,{\frac {1}{n}},0,\ldots ),}$ де ненульове значення стоїть на n-му місці. Тоді ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}}$ є безумовно збіжним, але не є абсолютно збіжним.

Див. також

• Абсолютна збіжність
• Умовна збіжність

Посилання

• Попов Михайло. Геометрія банахових просторів^{[недоступне посилання з лютого 2019]}(укр.)
• Christopher Heil. A Basis Theory Primer [ 26 грудня 2013 у Wayback Machine.] (англ.)
• Безумовна збіжність на PlanetMath.(англ.)

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. Dover Publications. .
• Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. .
• P. Wojtaszczyk (1996). Banach Spaces for Analysts. Cambridge University Press . .