Бе́та-розпо́діл в теорії імовірностей та статистиці — двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів.
Бета-розподіл | |
---|---|
Функція ймовірностей | |
Функція розподілу ймовірностей | |
Параметри | |
Носій функції | |
Розподіл імовірностей | |
Функція розподілу ймовірностей (cdf) | |
Середнє | |
Мода | для |
Дисперсія | |
Коефіцієнт асиметрії | |
Коефіцієнт ексцесу | |
Твірна функція моментів (mgf) | |
Характеристична функція |
Означення
Нехай розподіл випадкової величини задаєтся густиною ймовірності , що має вигляд:
- ,
де
- довільні фіксовані параметри, і
- — бета-функція.
Тоді випадкова величина має бета-розподіл. Пишуть: .
Форма графіка
Форма графіка густини ймовірності бета-розподілу залежить від вибору параметрів і .
- — графік опуклий і прямує до нескінченності на границях (червона крива);
- чи — графік строго спадний (синя крива)
- — графік строго опуклий;
- — графік є прямою лінїєю;
- — графік строго ввігнутий;
- графік збігається з графіком густини стандартного неперервного рівномірного розподілу;
- або — графік строго зростаючий (зелена крива);
- — графік строго опуклий;
- — графік є прямою линією;
- — графік строго ввігнутий;
- — график унімодальний (пурпурова та чорна криві)
У випадку, коли , густина ймовірності симетична відносно (червона та пурпурова криві), то
- .
Моменти
Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини , що має бета-розподіл, мають такий вигляд:
- ,
- .
Зв'язок з іншими розподілами
Стандартний неперервний рівномірний розподіл є окремим випадком бета-розподілу:
— незалежні гамма-розподілені випадкові величини, причому , а , то
Апріорний розподіл Голдейна
Розподіл B(0,0) запропонував Джон Бердон Сандерсон Голдейн, який зауважив що апріорна ймовірність що представляє повну непевність повинна бути пропорційною до p−1(1−p)−1. Функцію p−1(1−p)−1 можна розглядати як границю бета розподілу в якому обидва параметри наближаються до нуля, α, β → 0. Таким чином, p−1(1−p)−1 розділена на бета-функцію наближається до двоточкового розподілу Бернуллі в якому вся густина розподілу сконцентрована на кінцях, в 0 і 1, у вигляді дельта-функції Дірака, і нульова між ними. Це приклад розподілу ймовірностей для підкидання монети, якщо одна сторона - нуль, а інша - 1.
Цей розділ потребує доповнення. (червень 2017) |
В іншому мовному розділі є повніша стаття Beta distribution(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської.
|
Примітки
- Haldane, J.B.S. (1932). . Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 28: 55—61. doi:10.1017/s0305004100010495. Архів оригіналу за 23 червня 2015. Процитовано 20 червня 2017.
Посилання
Ця стаття не містить . (вересень 2015) |
Це незавершена стаття зі статистики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Beta Be ta rozpo dil v teoriyi imovirnostej ta statistici dvoparametrichna sim ya absolyutno neperervnih rozpodiliv Beta rozpodilFunkciya jmovirnostejFunkciya rozpodilu jmovirnostejParametria gt 0 displaystyle alpha gt 0 b gt 0 displaystyle beta gt 0 Nosij funkciyix 0 1 displaystyle x in 0 1 Rozpodil imovirnostejxa 1 1 x b 1B a b displaystyle frac x alpha 1 1 x beta 1 mathrm B alpha beta Funkciya rozpodilu jmovirnostej cdf Ix a b displaystyle I x alpha beta Serednyeaa b displaystyle frac alpha alpha beta Modaa 1a b 2 displaystyle frac alpha 1 alpha beta 2 dlya a gt 1 b gt 1 displaystyle alpha gt 1 beta gt 1 Dispersiyaab a b 2 a b 1 displaystyle frac alpha beta alpha beta 2 alpha beta 1 Koeficiyent asimetriyi2 b a a b 1 a b 2 ab displaystyle frac 2 beta alpha sqrt alpha beta 1 alpha beta 2 sqrt alpha beta Koeficiyent ekscesu6a3 a2 2b 1 b2 b 1 2ab b 2 ab a b 2 a b 3 displaystyle 6 frac alpha 3 alpha 2 2 beta 1 beta 2 beta 1 2 alpha beta beta 2 alpha beta alpha beta 2 alpha beta 3 Tvirna funkciya momentiv mgf 1 k 1 r 0ka ra b r tkk displaystyle 1 sum k 1 infty left prod r 0 k frac alpha r alpha beta r right frac t k k Harakteristichna funkciya1F1 a a b it displaystyle 1 F 1 alpha alpha beta i t OznachennyaNehaj rozpodil vipadkovoyi velichini X displaystyle X zadayetsya gustinoyu jmovirnosti fX displaystyle f X sho maye viglyad fX x 1B a b xa 1 1 x b 1 displaystyle f X x frac 1 mathrm B alpha beta x alpha 1 1 x beta 1 de a b gt 0 displaystyle alpha beta gt 0 dovilni fiksovani parametri i B a b 01xa 1 1 x b 1dx displaystyle mathrm B alpha beta int limits 0 1 x alpha 1 1 x beta 1 dx beta funkciya Todi vipadkova velichina X displaystyle X maye beta rozpodil Pishut X B a b displaystyle X sim mathrm B alpha beta Forma grafikaForma grafika gustini jmovirnosti beta rozpodilu zalezhit vid viboru parametriv a displaystyle alpha i b displaystyle beta a lt 1 b lt 1 displaystyle alpha lt 1 beta lt 1 grafik opuklij i pryamuye do neskinchennosti na granicyah chervona kriva a lt 1 b 1 displaystyle alpha lt 1 beta geq 1 chi a 1 b gt 1 displaystyle alpha 1 beta gt 1 grafik strogo spadnij sinya kriva a 1 b gt 2 displaystyle alpha 1 beta gt 2 grafik strogo opuklij a 1 b 2 displaystyle alpha 1 beta 2 grafik ye pryamoyu linyiyeyu a 1 1 lt b lt 2 displaystyle alpha 1 1 lt beta lt 2 grafik strogo vvignutij a 1 b 1 displaystyle alpha 1 beta 1 grafik zbigayetsya z grafikom gustini standartnogo neperervnogo rivnomirnogo rozpodilu a 1 b lt 1 displaystyle alpha 1 beta lt 1 abo a gt 1 b 1 displaystyle alpha gt 1 beta leq 1 grafik strogo zrostayuchij zelena kriva a gt 2 b 1 displaystyle alpha gt 2 beta 1 grafik strogo opuklij a 2 b 1 displaystyle alpha 2 beta 1 grafik ye pryamoyu liniyeyu 1 lt a lt 2 b 1 displaystyle 1 lt alpha lt 2 beta 1 grafik strogo vvignutij a gt 1 b gt 1 displaystyle alpha gt 1 beta gt 1 grafik unimodalnij purpurova ta chorna krivi U vipadku koli a b displaystyle alpha beta gustina jmovirnosti simetichna vidnosno 1 2 displaystyle 1 2 chervona ta purpurova krivi to fX x 1 2 fX x 1 2 x 0 1 2 displaystyle f X x 1 2 f X x 1 2 x in 0 1 2 MomentiMatematichne spodivannya ta dispersiya vipadkovoyi velichini X displaystyle X sho maye beta rozpodil mayut takij viglyad E X aa b displaystyle mathbb E X frac alpha alpha beta D X ab a b 2 a b 1 displaystyle mathrm D X frac alpha beta alpha beta 2 alpha beta 1 Zv yazok z inshimi rozpodilamiStandartnij neperervnij rivnomirnij rozpodil ye okremim vipadkom beta rozpodilu U 0 1 B 1 1 displaystyle mathrm U 0 1 equiv mathrm B 1 1 X Y displaystyle X Y nezalezhni gamma rozpodileni vipadkovi velichini prichomu X G a 1 displaystyle X sim mathrm Gamma alpha 1 a Y G b 1 displaystyle Y sim mathrm Gamma beta 1 to XX Y B a b displaystyle frac X X Y sim mathrm B alpha beta Apriornij rozpodil Goldejna B 0 0 displaystyle B 0 0 gustina jmovirnosti apriornogo rozpodilu Goldejna demonstruye povnu vidsutnist apriornoyi informaciyi pro vipadkovu velichinu de mi navit ne znayemo chi ye mozhlivim provesti eksperiment yakij dav bi pozitivnij chi negativnij rezulat Koli a b 0 rozpodil nablizhayetsya do rozpodilu Bernulli v yakomu vsya gustina rozpodilu skoncentrovana na kincyah v 0 i 1 u viglyadi delta funkciyi Diraka i nulova mizh nimi Rozpodil B 0 0 zaproponuvav Dzhon Berdon Sanderson Goldejn yakij zauvazhiv sho apriorna jmovirnist sho predstavlyaye povnu nepevnist povinna buti proporcijnoyu do p 1 1 p 1 Funkciyu p 1 1 p 1 mozhna rozglyadati yak granicyu beta rozpodilu v yakomu obidva parametri nablizhayutsya do nulya a b 0 Takim chinom p 1 1 p 1 rozdilena na beta funkciyu nablizhayetsya do dvotochkovogo rozpodilu Bernulli v yakomu vsya gustina rozpodilu skoncentrovana na kincyah v 0 i 1 u viglyadi delta funkciyi Diraka i nulova mizh nimi Ce priklad rozpodilu jmovirnostej dlya pidkidannya moneti yaksho odna storona nul a insha 1 Cej rozdil potrebuye dopovnennya cherven 2017 V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Beta distribution angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad PrimitkiHaldane J B S 1932 Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 28 55 61 doi 10 1017 s0305004100010495 Arhiv originalu za 23 chervnya 2015 Procitovano 20 chervnya 2017 PosilannyaCya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno veresen 2015 Ce nezavershena stattya zi statistiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi