В математиці антидіагональна матриця це матриця, де всі елементи дорівнюють нулю, окрім тих, які знаходяться на діагоналі, що проходить зліва направо (↗) і відома як антидіагональ.
Формально, матриця A, що має розмірність n-на-n, називається антидіагональною матрицею якщо (i, j) елемент дорівнює нулю для всіх i, j ∈ {1, …, n} з i + j ≠ n + 1.
Прикладом антидіагональної матриці є наступна
Антидіагональна матриця також є .
Добуток двох антидіагональних матриць є діагональною матрицею. Добуток антидіагональної матриці із діагональною матрицею — це антидіагональна матриця, так само як і добуток діагональної матриці з антидіагональною.
Антидіагональна матриця є обереною тоді і лише тоді якщо всі елементи антидіагоналі не дорівнюють нулю. Обернена матриця від антидіагональної матриці є також антидіагональною. Детермінант антидіагональної матриці має абсолютне значення, що визначається добутком значень елементів антидіагоналі. Однак, знак детермінанту буде змінюватися в залежності від розмірності матриці.
Розмірність матриці | Перестановка для ненульового елементарного добутку антидіагональної матриці | Парне чи непарне | Значення елементарного добутку |
---|---|---|---|
2 × 2 | {2, 1} | Непарне | - |
3 × 3 | {3, 2, 1} | Непарне | - |
4 × 4 | {4, 3, 2, 1} | Парне | + |
5 × 5 | {5, 4, 3, 2, 1} | Парне | + |
6 × 6 | {6, 5, 4, 3, 2, 1} | Непарне | - |
Більш точно, знак елементарного добутку, необхідного для підрахунку детермінанту антидіагональної матриці має відношення до того чи є парним або неперним відповідне трикутне число. Це тому що число інверсій у перестановці для ненульвого елементарного добутку для будь-якої n × n антидіагональної матриці завжди дорівнює n.
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
- Anti-diagonal matrix на PlanetMath
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V matematici antidiagonalna matricya ce matricya de vsi elementi dorivnyuyut nulyu okrim tih yaki znahodyatsya na diagonali sho prohodit zliva napravo i vidoma yak antidiagonal Formalno matricya A sho maye rozmirnist n na n nazivayetsya antidiagonalnoyu matriceyu yaksho i j element dorivnyuye nulyu dlya vsih i j 1 n z i j n 1 Prikladom antidiagonalnoyi matrici ye nastupna 00001000200050007000 10000 displaystyle begin bmatrix 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 1 0 amp 0 amp 0 amp 2 amp 0 0 amp 0 amp 5 amp 0 amp 0 0 amp 7 amp 0 amp 0 amp 0 1 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 end bmatrix Antidiagonalna matricya takozh ye Dobutok dvoh antidiagonalnih matric ye diagonalnoyu matriceyu Dobutok antidiagonalnoyi matrici iz diagonalnoyu matriceyu ce antidiagonalna matricya tak samo yak i dobutok diagonalnoyi matrici z antidiagonalnoyu Antidiagonalna matricya ye oberenoyu todi i lishe todi yaksho vsi elementi antidiagonali ne dorivnyuyut nulyu Obernena matricya vid antidiagonalnoyi matrici ye takozh antidiagonalnoyu Determinant antidiagonalnoyi matrici maye absolyutne znachennya sho viznachayetsya dobutkom znachen elementiv antidiagonali Odnak znak determinantu bude zminyuvatisya v zalezhnosti vid rozmirnosti matrici Rozmirnist matrici Perestanovka dlya nenulovogo elementarnogo dobutku antidiagonalnoyi matrici Parne chi neparne Znachennya elementarnogo dobutku2 2 2 1 Neparne 3 3 3 2 1 Neparne 4 4 4 3 2 1 Parne 5 5 5 4 3 2 1 Parne 6 6 6 5 4 3 2 1 Neparne Bilsh tochno znak elementarnogo dobutku neobhidnogo dlya pidrahunku determinantu antidiagonalnoyi matrici maye vidnoshennya do togo chi ye parnim abo nepernim vidpovidne trikutne chislo Ce tomu sho chislo inversij u perestanovci dlya nenulvogo elementarnogo dobutku dlya bud yakoyi n n antidiagonalnoyi matrici zavzhdi dorivnyuye n DzherelaGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Anti diagonal matrix na PlanetMath