Ітерована функція

Ітерація функції — в математиці, це функція отримана композицією іншої функції самої з собою. Процес композиції може повторюватись багатократно, що називається ітерацією.

Ітерація поворотів і нахилів та їх комбінацій

приклад для малюнку справа::

${\displaystyle L=F(K),\ M=F\circ F(K)=F^{2}(K).}$

Ітерація функції вивчається в інформатиці, фракталах, динамічних системах в математиці та Ренормгрупах в фізиці.

Визначення

Для множини X та функції f: X → X,

визначимсо f ⁿ як n-ту ітерацію f, де n невід'ємне ціле число, як:

${\displaystyle f^{0}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~\operatorname {id} _{X}}$

та

${\displaystyle f^{n+1}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f\circ f^{n},}$

де id_X — тотожне відображення на X, а ${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}$ — композиція функцій.

Абелева властивість

${\displaystyle f^{m}\circ f^{n}=f^{n}\circ f^{m}=f^{m+n}~.}$