Ін'єктивний метричний простір

Ін'єктивний метричний простір — метричний простір з певними властивостями, що узагальнює властивості дійсної прямої та метрику ${\displaystyle L^{\infty }}$ у векторних просторах вищої розмірності.

Визначення

Повний геодезичний метричний простір ${\displaystyle X}$ називається ін'єктивним, якщо довільне сімейство куль у ${\displaystyle X}$ має спільну точку, якщо будь-які дві кулі в цьому сімействі перетинаються.

Приклади

• Дійсна пряма, а також будь-який замкнутий інтервал.
• Простір функцій на будь-якому просторі зі sup-нормою.
• Будь-яке .

Властивості

• В ін'єктивному просторі радіус будь-якої множини дорівнює половині її діаметра.
  • Таким чином, ін'єктивні простори задовольняють найсильнішій формі теореми Юнга .
• Ін'єктивний простір є повним.
• Будь-яке коротке відображення ін'єктивного простору скінченного діаметра в себе фіксує точку.
• Метричний простір є ін'єктивним тоді й лише тоді, коли він є ін'єктивним об'єктом у категорії метричних просторів та коротких відображень відносно екстремальних мономорфізмів.
  • Інакше кажучи, простір ${\displaystyle X}$ є ін'єктивним, якщо для будь-якого короткого відображення ${\displaystyle f\colon A\to X}$ та ізометричного вкладення ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$ існує коротке відображення ${\displaystyle g\colon B\to X}$ таке, що ${\displaystyle f=g\circ \phi }$.
• Будь-який метричний простір вкладається в так звану ін'єктивну оболонку — мінімальний ін'єктивний простір, що містить початковий. (Ін'єктивна оболонка аналогічна опуклій оболонці.)
  • Ін'єктивна оболонка даного метричного простору визначається однозначно з точністю до ізометрії, що комутує зі вкладенням.

Див. також

• Категорія метричних просторів

Посилання

• Isbell, J. R. Six theorems about injective metric spaces // ^[en] : журнал. — 1964. — Vol. 39. — P. 65—76. — DOI:10.1007/BF02566944.