задає лінійне відображення (оператор) з простору в простір .
Рядки матриці A є елементами векторного простору , а стовпці — елементами .
Властивості
- Лінійна оболонка рядків матриці
є лінійним підпростором простору
.
- Лінійна оболонка стовпців матриці
є лінійним підпростором простору
.
Ранг матриці рівний найбільшому числу лінійно-незалежних рядків (або стовпців) матриці. Причому ранг по стовпцях збігається з рангом по рядках.
Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:
Назва Визначення Простір в якому існує Розмірність простір стовпців чи образ im(A) чи range(A) r нульпростір чи ядро ker(A) чи null(A) n — r простір рядків чи [en] im(AT) чи range(AT) r лівий нульпростір чи коядро ker(AT) чи null(AT) m — r
- В
, тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків.
- В
, тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.
Джерела
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Matricya A a11a12 a1na21a22 a2n am1am2 amn displaystyle mathbf A left begin array rrrr a 11 amp a 12 amp cdots amp a 1n a 21 amp a 22 amp cdots amp a 2n vdots amp vdots amp ddots amp vdots a m1 amp a m2 amp cdots amp a mn end array right zadaye linijne vidobrazhennya operator z prostoruRn displaystyle mathbb R n v prostir Rm displaystyle mathbb R m Ryadki matrici A ye elementami vektornogo prostoru Rn displaystyle mathbb R n a stovpci elementami Rm displaystyle mathbb R m VlastivostiLinijna obolonka ryadkiv matrici A displaystyle A ye linijnim pidprostorom prostoru Rn displaystyle mathbb R n Linijna obolonka stovpciv matrici A displaystyle A ye linijnim pidprostorom prostoru Rm displaystyle mathbb R m Teorema pro rang matriciRang matrici rivnij najbilshomu chislu linijno nezalezhnih ryadkiv abo stovpciv matrici Prichomu rang po stovpcyah zbigayetsya z rangom po ryadkah Osnovna teorema linijnoyi algebri Matricya A rank A r vvodit chotiri fundamentalni pidprostori Nazva Viznachennya Prostir v yakomu isnuye Rozmirnistprostir stovpciv chi obraz im A chi range A Rm displaystyle mathbb R m rnulprostir chi yadro ker A chi null A Rn displaystyle mathbb R n n rprostir ryadkiv chi en im AT chi range AT Rn displaystyle mathbb R n rlivij nulprostir chi koyadro ker AT chi null AT Rm displaystyle mathbb R m m r dd V Rnker A im AT displaystyle mathbb R n ker A mathrm im A T perp tobto nulprostir ye ortogonalnim dopovnennyam prostoru ryadkiv V Rmker AT im A displaystyle mathbb R m ker A T mathrm im A perp tobto livij nulprostir ye ortogonalnim dopovnennyam prostoru stovpciv DzherelaGelfand I M Lekcii po linejnoj algebre Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros Gantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros