Індекс підгрупи

Індекс підгрупи ${\displaystyle H}$ у групі ${\displaystyle G}$ ― число класів суміжності в кожному (правому або лівому) із розкладів групи ${\displaystyle G}$ за цією підгрупою ${\displaystyle H}$ (в нескінченному випадку — потужність множини цих класів).

Індекс підгрупи ${\displaystyle H}$ в групі ${\displaystyle G}$ зазвичай позначається ${\displaystyle [G:H]}$.

Пов'язані означення

• Якщо число суміжних класів скінченне, то ${\displaystyle H}$ називається підгрупою скінченного індексу в ${\displaystyle G}$.

Властивості

• Добуток порядку підгрупи ${\displaystyle H}$ на її індекс ${\displaystyle [G:H]}$ рівний порядку групи ${\displaystyle G}$ (теорема Лагранжа).
  • Це твердження є вірним як для скінченної групи ${\displaystyle G}$, так і у випадку нескінченної ${\displaystyle G}$ ― для відповідних потужностей.
• Якщо H є підгрупою G, а K — підгрупою H, то:

${\displaystyle [G:K]=[G:H]\,[H:K].}$

Теорема Пуанкаре

Перетин скінченної кількості підгруп скінченного індексу має скінченний індекс (теорема Пуанкаре).

Твердження достатньо довести для випадку двох підгруп. Нехай підгрупи Н і F — підгрупи скінченного індексу в групі G і D — їх перетин. Елементи a і b тоді і тільки тоді належать одному лівосторонньому суміжному класу по D, якщо ${\displaystyle a^{-1}b\in D}$, тобто якщо ${\displaystyle a^{-1}b\in H}$ і ${\displaystyle a^{-1}b\in F}$. Отже всі лівосторонні класи суміжності групи G по підгрупі D, це всі непусті перетини лівосторонніх класів суміжності по підгрупі Н з лівосторонніми класами по підгрупі F. Із скінченності індексів підгруп Н і F випливає скінченність числа цих перетинів і скінченність індексу підгрупи D в групі G.

З доведення також випливає нерівність:

• ${\displaystyle [G:H\cap F]\leq [G:F]\,[G:F].}$

Див. також

• Клас суміжності групи
• Теорема Лагранжа

Література

• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• О.Г.Ганюшкін, О.О.Безущак. К.: Видавничо-поліграфічний центр Київський університет, 2005.
• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)