Алгебра Гейтінга

Алгебра Гейтінга — ґратка, що узагальнює Булеву алгебру, названа на честь Аренда Гейтінга. Алгебри Гейтінга постають як інтуіціоністської логіки, логіки в якій закон виключення третього не виконується.

Визначення

Алгебра Гейтінга H — обмежена ґратка (тобто існують 0 та 1), така що для всіх a,b ∈ H існує найбільший елемент x ∈ H такий, що

${\displaystyle a\wedge x\leq b.}$

Цей елемент є відносним псевдо-доповненням a по відношенню до b, і позначається a → b.

Псевдо-доповненням довільного елемента x називається ¬x = (x → 0). Отже, за визначенням, a ∧ ¬a = 0. Хоча, не завжди a ∨ ¬a = 1, як це виконується в Булевій алгебрі.

Доповнена Алгебра Гейтінга — Алгебра Гейтінга, що є доповненою ґраткою.

Алгебраїчне визначення

Алгебра Гейтінга H — обмежена ґратка, з бінарною операцією імплікації, тобто:

1. ${\displaystyle ~a\rightarrow a=1}$
2. ${\displaystyle a\wedge (a\rightarrow b)=a\wedge b}$
3. ${\displaystyle b\wedge (a\rightarrow b)=b}$
4. ${\displaystyle a\rightarrow (b\wedge c)=(a\rightarrow b)\wedge (a\rightarrow c)}$ — дистрибутивний закон.

Приклади

• Булева алгебра є алгеброю Гейтінга, в якій імплікація визначена як p → q = ¬p ∨ q.
• Лінійно впорядкована множина що є обмеженою ґраткою є алгеброю Гейтінга, де p → q дорівнює q, якщо p>q, і 1 в протилежному випадку.
• Найпростішою алгеброю Гейтінга, що не є Булевою алгеброю є цілком впорядкована множина {0, ½, 1} з імплікацією, визначеною як в прикладі 2. Зауважимо, що не виконується закон виключення третього: ½ ∨ ¬½ = ½.

Властивості

Загальні властивості

• Алгебра Гейтінга є дистрибутивною ґраткою.
• Частковий порядок ≤ на H може мати відновлений за допомогою операції → таким чином: для довільних a, b ∈ H, a ≤ b тоді і тільки тоді, коли a → b = 1.

• На відміну від багатозначної логіки, якщо в алгебрі Гейтінга (чи Булевій алгебрі) для деякого елемента: ¬a = a , тоді алгебра є одноелементною.

Закони де Моргана

Один із законів де Моргана в алгебрі Гейтінга виконується без змін:

${\displaystyle \lnot (x\vee y)=\lnot x\wedge \lnot y}$

Інший виконується в слабшій формі:

${\displaystyle \lnot (x\wedge y)=\lnot \lnot (\lnot x\vee \lnot y)}$

Джерела

• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)