Дискретна випадкова величина ξ називається такою, що має біноміальний розподіл, якщо ймовірність набуття нею конкретних значень має вигляд: , де — параметри, що визначають розподіл, .
Біноміальний розподіл | |
---|---|
Функція ймовірностей | |
Функція розподілу ймовірностей Кольори збігаються з попереднім малюнком | |
Параметри | кількість випробувань (ціле) ймовірність успіху (дійсне) |
Носій функції | |
Розподіл імовірностей | |
Функція розподілу ймовірностей (cdf) | |
Середнє | |
Медіана | одне із |
Мода | |
Дисперсія | |
Коефіцієнт асиметрії | |
Коефіцієнт ексцесу | |
Ентропія | |
Твірна функція моментів (mgf) | |
Характеристична функція |
Позначається .
Біноміальний розподіл є (дискретним розподілом імовірностей) із параметрами n і p для кількості успішних результатів, що мають двійкове значення у послідовності із n незалежних експериментів, для кожного з яких ставиться питання "так або ні". Імовірність виникнення успішного результату для кожного випробування задається параметром p, а імовірність виникнення не успішного результату відповідно дорівнюватиме q = 1 − p.
Єдиний успішний чи не успішний експеримент також називають випробуванням Бернуллі або експериментом Бернуллі, а послідовність результатів таких експериментів називаються [en]; для однократного випробування, тобто, при n = 1, біноміальний розподіл є розподілом Бернуллі. Біноміальний розподіл є основою загальновживаної [en] статистичної значущості.
Біноміальний розподіл часто використовують для моделювання кількості успішних експериментів у вибірці розміром в n, де експерименти виконуються із поповненням із сукупності розміром N. Якщо відбір вибірки відбуватиметься без поповнення, тоді такі експерименти не будуть незалежними і їх результатний розподіл буде гіпергеометричним, а не біноміальним. Однак, для випадку, коли N набагато більше за n, біноміальний розподіл використовують, оскільки він залишається добрим наближенням.
Пояснення
В теорії ймовірностей та математичній статистиці, біноміальний розподіл є дискретним ймовірнісним розподілом, що характеризує кількість успіхів в послідовності експериментів, значення яких змінюється за принципом так/ні, кожен з яких набуває успіху з ймовірністю p. Такі так/ні експерименти також називаються експериментами Бернуллі, або схемою Бернуллі, зокрема, якщо n=1 (кількість випробувань), то отримаємо Розподіл Бернуллі.
Означення
Функція імовірностей
У загальному випадку, якщо випадкова величина X відповідає біноміальному розподілу із параметрами n ∈ ℕ і p ∈ [0,1], записують X ~ B(n, p). Імовірність випадання точно k успішних випадків при n випробуваннях задається наступною функцією масової імовірності:
для k = 0, 1, 2, ..., n, де
це біноміальний коефіцієнт, названий так само як і сам розподіл. Цю формулу можна розуміти наступним чином. k успішних випадків виникають із імовірністю pk і n − k не успішних результатів випадають із імовірністю (1 − p)n − k. Однак, k успішних результатів можуть виникнути в будь-який момент серед даних n випробувань, тому існує різних способів розподілення k успішних випадків у послідовності з n спроб.
При створенні довідникових таблиць для біноміального розподілу, як правило таблицю заповнюють значеннями до n/2. Це тому що для k > n/2, можна розрахувати як імовірність для її доповнення, наступним чином
Якщо розглядати вираз f(k, n, p) як функцію від k, повинно існувати таке значення k, яке максимізує її. Це значення k можна знайти, якщо розрахувати:
і прирівняти до 1. Завжди існуватиме ціле число M яке задовольняє умові
f(k, n, p) є монотонно зростаючою при k < M і монотонно спадною для k > M, за винятком випадку де (n + 1)p є цілим. В даному випадку, існує два значення в яких f є максимальною: (n + 1)p і (n + 1)p − 1. M є найбільш імовірним результатом із усіх випробувань Бернуллі і називається модою.
Функція розподілу
Кумулятивна функція розподілу можна задати наступним чином:
де — найбільше ціле число, яке менше або дорівнює k.
Її також можна задати за допомогою (регуляризованої неповної бета-функції), наступним чином:
Числові характеристики
Зважаючи на співвідношення між біноміальним розподілом і розподілом Бернуллі, наведені нижче, а також на властивості математичного сподівання і дисперсії, можна отримати числові характеристики для біноміального розподілу без громіздких обчислень.
Математичне сподівання
Якщо X ~ B(n, p), така що, X є біноміально-розподіленою випадковою величиною для якої, n - загальна кількість експериментів, а p це імовірність що кожен експеримент призведе до успішного результату, тоді математичне сподівання для X дорівнюватиме:
Наприклад, якщо n = 100, а p = 1/4, тоді середньою кількістю успішних випробувань буде 25.
Доведення: Розрахуємо середнє, μ, прямим способом виходячи із його визначення
і з теореми про біном Ньютона:
Середнє також можна вивести із рівняння де всі є випадковими величинами із розподілом Бернуллі із ( якщо i-ий експеримент є успішним і навпаки). Отримаємо:
Дисперсія
дисперсія біноміально-розподіленої випадкової величини:
Доведення: Нехай де всі є незалежними випадковими величинами із розподілом Бернуллі. Оскільки , отримаємо:
Мода
Як правило мода біноміального розподілу B(n, p) дорівнює , де позначає функцію округлення до найбільшого цілого числа, яке менше або дорівнює (тобто найближчого цілого числа, яке менше або дорівнює заданому числу. Однак, коли (n + 1)p є цілим, а p не є не 0 ні 1, тоді розподіл має дві моди: (n + 1)p і (n + 1)p − 1. Коли p дорівнює 0 або 1, тоді мода дорівнюватиме 0 і n відповідно. Ці випадки можна узагальнити наступним чином:
Доведення: Нехай
Для лише матиме не нульове значення . Для маємо, що і для . Це доводить, що мода дорівнює 0 для і для .
Нехай . Знайдемо, що
- .
З цього випливає
Тож коли є цілим, тоді і є модою. У випадку, коли , тоді модою буде лише .
Медіана
Загалом, не існує єдиної формули для знаходження медіани біноміального розподілу, крім того вона може бути не унікальною. Однак існує декілька результатів для особливих випадків:
- Якщо np ціле число, тоді середнє, медіана і мода збігаються між собою і дорівнюють np.
- Будь-яка медіана m обов'язково знаходиться в середині інтервалу ⌊np⌋ ≤ m ≤ ⌈np⌉.
- Медіана m не може знаходитися далеко від середнього: |m − np| ≤ min{ ln 2, max{p, 1 − p} }.
- Медіана буде єдиною і дорівнюватиме m = округлене(np) якщо |m − np| ≤ min{p, 1 − p} (крім випадку, коли p = 1/2 та n є непарними).
- Якщо p = 1/2 та n непарні, будь-яке число m у інтервалі 1/2(n − 1) ≤ m ≤ 1/2(n + 1) є медіаною біноміального розподілу. Якщо p = 1/2 і n парні, тоді m = n/2 є єдиною медіаною.
Коваріація між двома біноміальними розподілами
Якщо одночасно спостерігалися дві біноміально розподілені випадкові величини X і Y, може бути корисним визначити їх коваріацію. Коваріація це
У випадку коли n = 1 (у випадку із схемою випробувань Бернуллі) XY не нульове лише коли обидві X і Y є одиницею, а μX і μY дорівнюють двом імовірностям. Якщо визначити pB як імовірність виникнення обох подій одночасно, отримаємо
і для n незалежних попарних випробувань
Якщо X і Y є однією і тією ж випадковою величиною, цей вираз спрощується до виразу визначення дисперсії, який наведено вище в цій статті.
Зв'язок з іншими розподілами
Нехай незалежні випадкові величини мають розподіл Бернуллі з параметром p, тобто , тоді випадкова величина має біноміальний розподіл з параметрами p, n, тобто .
Сума біноміально-розподілених величин
Якщо X ~ B(n, p) і Y ~ B(m, p) є незалежними випадковими величинами із біноміальним розподілом із однаковою ймовірністю p, тоді X + Y також буде біноміально-розподіленою величиною, і її розподілом буде Z=X+Y ~ B(n+m, p):
Однак, якщо X і Y не мають однакової імовірності p, тоді дисперсія суми величин буде меншою за дисперсію випадкової величини із біноміальним розподілом вигляду
Відношення двох біноміальних розподілів
Нехай p1 і p2 це імовірності успішного випробування у біноміальних розподілах B(X,n) і B(Y,m) відповідно. Нехай T = (X/n)/(Y/m).
Тоді log(T) є наближено нормально розподіленою величиною із середнім log(p1/p2) і дисперсією ((1/p1) - 1)/n + ((1/p2) - 1)/m.
Умовні біноміальні величини
Якщо є X ~ B(n, p) і, при X існує деяка умовна величина Y ~ B(X, q), тоді Y є простою біноміальною величиною із розподілом Y ~ B(n, pq).
Наприклад, уявімо, що хтось кидає n м'ячів у кошик UX і виймає ті м'ячі, які успішно потрапили у кошик та кладе їх у інший кошик UY. Якщо p означає імовірність влучити в UX тоді X ~ B(n, p) це кількість м'ячів, які влучили у UX. Якщо q це імовірність потрапити у UY тоді кількістю м'ячів, які потраплять у UY буде Y ~ B(X, q) і таким чином Y ~ B(n, pq).
Оскільки і , за формулою повної імовірності,
Оскільки , то вищенаведене рівняння можна записати в наступній формі
Розбивши на множники і виділивши всі множники, які не залежать від суму можна звести до наступного:
Замінивши у вищенаведеному виразі, отримаємо
Помітимо, що вищенаведена сума (у дужках) дорівнює відповідно до теореми про біном Ньютона. Підставивши це у вираз, зрештою отримаємо
і таким чином , що і треба було довести.
Розподіл Бернуллі
Розподіл Бернуллі є особливим випадком біноміального розподілу, де n = 1. Символічно, X ~ B(1, p) має однакове середнє як і X ~ B(p). І навпаки, будь-який біноміальний розподіл, B(n, p), є розподілом суми із n випробувань Бернуллі, B(p), кожне з яких має однакову імовірність p.
Нормальне наближення
Якщо n є досить великим, тоді зсув біноміального розподілу не буде дуже великим. В такому випадку нормальний розподіл може бути виправданим наближенням для B(n, p).
а це базове наближення можна покращити використавши вдалу [en]. Базове наближення значно стає кращим при збільшенні n (принаймні більше ніж 20) і буде кращим, коли p не є близькою до 0 або 1. Можуть використовуватися різні емпіричні правила, які визначають чи є n достатньо великою, а значення p є досить далеким від крайніх значень нуля або одиниці:
- Одне із правил говорить, що для n > 5 нормальне наближення буде адекватним, якщо абсолютне значення зсуву є строго меншим ніж 1/3; тобто, якщо
- Більш посилене правило говорить, що нормальна апроксимація буде прийнятною лише якщо всі можливі значення знаходяться в межах 3 стандартних відхилень від середнього значення; тобто, лише якщо
- Це правило про 3-стандартні відхилення буде еквівалентне наступним наведеним умовам, які також зумовлюють виконання і першого правила, описаного вище.
Правило є повністю еквівалентним вимозі, що
Якщо переставити множники отримаємо:
Оскільки , ми можемо піднести вирази у квадрат і поділити на відповідні множники та , і отримаємо бажані умови:
Зауважимо, що ці умови автоматично означають, що . З іншого боку, знову застосувавши квадратний корінь до нерівностей і поділивши на 3,
Віднявши другий набір нерівностей із першого, отримаємо:
тож, необхідне перше правило буде виконуватися,
- Іншим загальновживаним правилом є те, що обидва значення і мають бути більшими або дорівнювати 5. Однак, конкретне значення цього числа зустрічається різним в різних джерелах, і залежить від того наскільки хорошим має бути наближення. Зокрема, якщо використати значення 9 замість наведеного 5, правило призводить до результатів, що отримані в попередній частині розділу.
Припустимо, що обидва значення і є більшими за число 9. Оскільки , ми можемо стверджувати, що
Тепер необхідно лише поділити це на відповідні множники і , аби вивести альтернативну форму правила про 3-стандартні відхилення:
Наведемо приклад застосування [en]. Припустимо, що необхідно розрахувати Pr(X ≤ 8) для біноміально-розподіленої випадкової величини X. Якщо Y має розподіл заданий у вигляді нормального наближення, тоді Pr(X ≤ 8) можна наблизити за допомогою Pr(Y ≤ 8.5). Додавання 0.5 є поправкою неперервності; нормальне наближення без поправки дає менш точний результат.
Це наближення відоме як Локальна теорема Муавра — Лапласа, вона дозволяє значно зекономити час, якщо розрахунки виконуються вручну (точний розрахунок при великих n є дуже обтяжливим); історично, це було першим застосуванням нормального розподілу, яке було представлено у книзі Абрахама де Муавра [en] в 1738. Сьогодні, її можна розглядати як наслідок із центральної граничної теореми оскільки B(n, p) є сумою із n незалежних, однаково розподілених випадкових величин із розподілом Бернуллі із параметром p. Цей факт є основою для перевірки статистичних гіпотез, "пропорційного z-тесту", для значення p використовуючи розрахунок x/n, що є пропорцією вибірки і оцінкою для p у загальних статистичних перевірках.
Наприклад, припустимо, що хтось зробив вибірку по n людям із усієї популяції людей і запитав їх чи погоджуються вони з певним твердженням. Частка людей, яка погодиться з висловлюванням очевидно буде залежати від вибірки. Якщо групи із n людей були обрані повторно і дійсно випадковим чином, ця пропорція буде відповідати наближеному нормальному розподілу із середнім, що дорівнює істинному співвідношенню p того що люди погоджуються із твердженням в цій сукупності і матиме стандартне відхилення
Наближення Пуассона
Біноміальний розподіл наближається до Розподілу Пуассона якщо кількість спроб зростає до нескінченності в той час як добуток np залишається незмінним або p прямує до нуля. Тому, розподіл Пуассона із параметром λ = np може використовуватися для наближення біноміального розподілу B(n, p) якщо n має досить велике значення і p значно мала. Відповідно до двох правил, це наближення є добрим, якщо n ≥ 20 і p ≤ 0.05, або якщо n ≥ 100 і np ≤ 10.
Граничні розподіли
- Теорема Пуассона: З тим як n наближається до ∞ і p наближається до 0 при сталому добутку np, Біноміальний розподіл B(n, p) наближається до розподілу Пуассона із математичним сподіванням λ = np.
- Локальна теорема Муавра — Лапласа: З тим як n наближається до ∞ поки p залишається сталим, розподіл величини
- наближається до нормального розподілу із математичним сподіванням 0 і дисперсією 1. Цей результат в не суворій формі іноді формулюють як те, що розподіл величини X буде [en] із математичним сподіванням np і дисперсією np(1 − p). Цей результат є особливим випадком центральної граничної теореми.
Бета-розподіл
Бета-розподіли дозволяють мати сімейство апріорних розподілів імовірностей для біноміальних розподілів при Баєсовому виведенні:
- .
Див. також
Джерела
- Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
Примітки
- Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statist. Probab. Lett. 23 21–25.
- Wadsworth, G. P. (1960). . New York: McGraw-Hill. с. 52. Архів оригіналу за 4 травня 2019. Процитовано 7 березня 2019.
- See Proof Wiki [ 4 травня 2019 у Wayback Machine.]
- See also the answer to the question "finding mode in Binomial distribution"
- Neumann, P. (1966). Über den Median der Binomial- and Poissonverteilung. Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden (German) . 19: 29—33.
- Lord, Nick. (July 2010). "Binomial averages when the mean is an integer", 94, 331-332.
- Kaas, R.; Buhrman, J.M. (1980). Mean, Median and Mode in Binomial Distributions. Statistica Neerlandica. 34 (1): 13—18. doi:10.1111/j.1467-9574.1980.tb00681.x.
- Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statistics & Probability Letters. 23: 21—25. doi:10.1016/0167-7152(94)00090-U.
- Katz D. et al.(1978) Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies. Biometrics 34:469–474
- Taboga, Marco. . statlect.com. Архів оригіналу за 22 грудня 2017. Процитовано 18 грудня 2017.
- Box, Hunter and Hunter (1978). Statistics for experimenters. Wiley. с. 130.
- NIST/, "7.2.4. Does the proportion of defectives meet requirements?" [ 30 листопада 2018 у Wayback Machine.] e-Handbook of Statistical Methods.
- NIST/, "6.3.3.1. Counts Control Charts" [ 11 березня 2008 у Wayback Machine.], e-Handbook of Statistical Methods.
- Що стосується точності наближення Пуассона, див Novak S.Y. (2011) Extreme value methods with applications to finance. London: CRC/ Chapman & Hall/Taylor & Francis. ch. 4, and references therein.
- MacKay, David (2003). Information Theory, Inference and Learning Algorithms. Cambridge University Press; First Edition. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Diskretna vipadkova velichina 3 nazivayetsya takoyu sho maye binomialnij rozpodil yaksho jmovirnist nabuttya neyu konkretnih znachen maye viglyad P 3 k C n k p k q n k k 0 1 n displaystyle P xi k C n k p k q n k k 0 1 n de p n displaystyle p n parametri sho viznachayut rozpodil p 0 1 q 1 p n N displaystyle p in 0 1 q 1 p n in mathbb N Binomialnij rozpodilFunkciya jmovirnostejFunkciya rozpodilu jmovirnostej Kolori zbigayutsya z poperednim malyunkomParametri n 0 displaystyle n geq 0 kilkist viprobuvan cile 0 p 1 displaystyle 0 leq p leq 1 jmovirnist uspihu dijsne Nosij funkciyi k 0 n displaystyle k in 0 dots n Rozpodil imovirnostej n k p k 1 p n k displaystyle n choose k p k 1 p n k Funkciya rozpodilu jmovirnostej cdf I 1 p n k 1 k displaystyle I 1 p n lfloor k rfloor 1 lfloor k rfloor Serednye n p displaystyle np Mediana odne iz n p 1 n p n p displaystyle lfloor np rfloor 1 lfloor np rfloor lceil np rceil Moda n 1 p displaystyle lfloor n 1 p rfloor Dispersiya n p 1 p displaystyle np 1 p Koeficiyent asimetriyi 1 2 p n p 1 p displaystyle frac 1 2p sqrt np 1 p Koeficiyent ekscesu 1 6 p 1 p n p 1 p displaystyle frac 1 6p 1 p np 1 p Entropiya 1 2 ln 2 p n e p 1 p O 1 n displaystyle frac 1 2 ln left 2 pi nep 1 p right O left frac 1 n right Tvirna funkciya momentiv mgf 1 p p e t n displaystyle 1 p pe t n Harakteristichna funkciya 1 p p e i t n displaystyle 1 p pe it n Poznachayetsya L 3 B i n p displaystyle mathcal L xi Bi n p Binomialnij rozpodil ye diskretnim rozpodilom imovirnostej iz parametrami n i p dlya kilkosti uspishnih rezultativ sho mayut dvijkove znachennya u poslidovnosti iz n nezalezhnih eksperimentiv dlya kozhnogo z yakih stavitsya pitannya tak abo ni Imovirnist viniknennya uspishnogo rezultatu dlya kozhnogo viprobuvannya zadayetsya parametrom p a imovirnist viniknennya ne uspishnogo rezultatu vidpovidno dorivnyuvatime q 1 p Yedinij uspishnij chi ne uspishnij eksperiment takozh nazivayut viprobuvannyam Bernulli abo eksperimentom Bernulli a poslidovnist rezultativ takih eksperimentiv nazivayutsya en dlya odnokratnogo viprobuvannya tobto pri n 1 binomialnij rozpodil ye rozpodilom Bernulli Binomialnij rozpodil ye osnovoyu zagalnovzhivanoyi en statistichnoyi znachushosti Binomialnij rozpodil chasto vikoristovuyut dlya modelyuvannya kilkosti uspishnih eksperimentiv u vibirci rozmirom v n de eksperimenti vikonuyutsya iz popovnennyam iz sukupnosti rozmirom N Yaksho vidbir vibirki vidbuvatimetsya bez popovnennya todi taki eksperimenti ne budut nezalezhnimi i yih rezultatnij rozpodil bude gipergeometrichnim a ne binomialnim Odnak dlya vipadku koli N nabagato bilshe za n binomialnij rozpodil vikoristovuyut oskilki vin zalishayetsya dobrim nablizhennyam PoyasnennyaV teoriyi jmovirnostej ta matematichnij statistici binomialnij rozpodil ye diskretnim jmovirnisnim rozpodilom sho harakterizuye kilkist uspihiv v poslidovnosti eksperimentiv znachennya yakih zminyuyetsya za principom tak ni kozhen z yakih nabuvaye uspihu z jmovirnistyu p Taki tak ni eksperimenti takozh nazivayutsya eksperimentami Bernulli abo shemoyu Bernulli zokrema yaksho n 1 kilkist viprobuvan to otrimayemo Rozpodil Bernulli OznachennyaFunkciya imovirnostej U zagalnomu vipadku yaksho vipadkova velichina X vidpovidaye binomialnomu rozpodilu iz parametrami n ℕ i p 0 1 zapisuyut X B n p Imovirnist vipadannya tochno k uspishnih vipadkiv pri n viprobuvannyah zadayetsya nastupnoyu funkciyeyu masovoyi imovirnosti f k n p Pr k n p Pr X k n k p k 1 p n k displaystyle f k n p Pr k n p Pr X k binom n k p k 1 p n k dlya k 0 1 2 n de n k n k n k displaystyle binom n k frac n k n k ce binomialnij koeficiyent nazvanij tak samo yak i sam rozpodil Cyu formulu mozhna rozumiti nastupnim chinom k uspishnih vipadkiv vinikayut iz imovirnistyu pk i n k ne uspishnih rezultativ vipadayut iz imovirnistyu 1 p n k Odnak k uspishnih rezultativ mozhut viniknuti v bud yakij moment sered danih n viprobuvan tomu isnuye n k displaystyle binom n k riznih sposobiv rozpodilennya k uspishnih vipadkiv u poslidovnosti z n sprob Pri stvorenni dovidnikovih tablic dlya binomialnogo rozpodilu yak pravilo tablicyu zapovnyuyut znachennyami do n 2 Ce tomu sho dlya k gt n 2 mozhna rozrahuvati yak imovirnist dlya yiyi dopovnennya nastupnim chinom f k n p f n k n 1 p displaystyle f k n p f n k n 1 p Yaksho rozglyadati viraz f k n p yak funkciyu vid k povinno isnuvati take znachennya k yake maksimizuye yiyi Ce znachennya k mozhna znajti yaksho rozrahuvati f k 1 n p f k n p n k p k 1 1 p displaystyle frac f k 1 n p f k n p frac n k p k 1 1 p i pririvnyati do 1 Zavzhdi isnuvatime cile chislo M yake zadovolnyaye umovi n 1 p 1 M lt n 1 p displaystyle n 1 p 1 leq M lt n 1 p f k n p ye monotonno zrostayuchoyu pri k lt M i monotonno spadnoyu dlya k gt M za vinyatkom vipadku de n 1 p ye cilim V danomu vipadku isnuye dva znachennya v yakih f ye maksimalnoyu n 1 p i n 1 p 1 M ye najbilsh imovirnim rezultatom iz usih viprobuvan Bernulli i nazivayetsya modoyu Funkciya rozpodilu Kumulyativna funkciya rozpodilu mozhna zadati nastupnim chinom F k n p Pr X k i 0 k n i p i 1 p n i displaystyle F k n p Pr X leq k sum i 0 lfloor k rfloor n choose i p i 1 p n i de k displaystyle lfloor k rfloor najbilshe cile chislo yake menshe abo dorivnyuye k Yiyi takozh mozhna zadati za dopomogoyu regulyarizovanoyi nepovnoyi beta funkciyi nastupnim chinom F k n p Pr X k I 1 p n k k 1 n k n k 0 1 p t n k 1 1 t k d t displaystyle begin aligned F k n p amp Pr X leq k amp I 1 p n k k 1 amp n k n choose k int 0 1 p t n k 1 1 t k dt end aligned Chislovi harakteristikiZvazhayuchi na spivvidnoshennya mizh binomialnim rozpodilom i rozpodilom Bernulli navedeni nizhche a takozh na vlastivosti matematichnogo spodivannya i dispersiyi mozhna otrimati chislovi harakteristiki dlya binomialnogo rozpodilu bez gromizdkih obchislen Matematichne spodivannya Yaksho X B n p taka sho X ye binomialno rozpodilenoyu vipadkovoyu velichinoyu dlya yakoyi n zagalna kilkist eksperimentiv a p ce imovirnist sho kozhen eksperiment prizvede do uspishnogo rezultatu todi matematichne spodivannya dlya X dorivnyuvatime E X n p displaystyle operatorname E X np Napriklad yaksho n 100 a p 1 4 todi serednoyu kilkistyu uspishnih viprobuvan bude 25 Dovedennya Rozrahuyemo serednye m pryamim sposobom vihodyachi iz jogo viznachennya m i 0 n x i p i displaystyle mu sum i 0 n x i p i i z teoremi pro binom Nyutona m k 0 n k n k p k 1 p n k n p k 0 n k n 1 n k k p k 1 1 p n 1 k 1 n p k 1 n n 1 n 1 k 1 k 1 p k 1 1 p n 1 k 1 n p k 1 n n 1 k 1 p k 1 1 p n 1 k 1 n p ℓ 0 n 1 n 1 ℓ p ℓ 1 p n 1 ℓ iz ℓ k 1 n p ℓ 0 m m ℓ p ℓ 1 p m ℓ iz m n 1 n p p 1 p m n p displaystyle begin aligned mu amp sum k 0 n k binom n k p k 1 p n k amp np sum k 0 n k frac n 1 n k k p k 1 1 p n 1 k 1 amp np sum k 1 n frac n 1 n 1 k 1 k 1 p k 1 1 p n 1 k 1 amp np sum k 1 n binom n 1 k 1 p k 1 1 p n 1 k 1 amp np sum ell 0 n 1 binom n 1 ell p ell 1 p n 1 ell amp amp text iz ell k 1 amp np sum ell 0 m binom m ell p ell 1 p m ell amp amp text iz m n 1 amp np p 1 p m amp np end aligned Serednye takozh mozhna vivesti iz rivnyannya X X 1 X n displaystyle X X 1 cdots X n de vsi X i displaystyle X i ye vipadkovimi velichinami iz rozpodilom Bernulli iz E X i p displaystyle E X i p X i 1 displaystyle X i 1 yaksho i ij eksperiment ye uspishnim i X i 0 displaystyle X i 0 navpaki Otrimayemo E X E X 1 X n E X 1 E X n p p n times n p displaystyle E X E X 1 cdots X n E X 1 cdots E X n underbrace p cdots p n text times np Dispersiya dispersiya binomialno rozpodilenoyi vipadkovoyi velichini D X n p 1 p displaystyle operatorname D X np 1 p Dovedennya Nehaj X X 1 X n displaystyle X X 1 cdots X n de vsi X i displaystyle X i ye nezalezhnimi vipadkovimi velichinami iz rozpodilom Bernulli Oskilki D X i p 1 p displaystyle operatorname D X i p 1 p otrimayemo D X D X 1 X n D X 1 D X n n D X 1 n p 1 p displaystyle operatorname D X operatorname D X 1 cdots X n operatorname D X 1 cdots operatorname D X n n operatorname D X 1 np 1 p Moda Yak pravilo moda binomialnogo rozpodilu B n p dorivnyuye n 1 p displaystyle lfloor n 1 p rfloor de displaystyle lfloor cdot rfloor poznachaye funkciyu okruglennya do najbilshogo cilogo chisla yake menshe abo dorivnyuye tobto najblizhchogo cilogo chisla yake menshe abo dorivnyuye zadanomu chislu Odnak koli n 1 p ye cilim a p ne ye ne 0 ni 1 todi rozpodil maye dvi modi n 1 p i n 1 p 1 Koli p dorivnyuye 0 abo 1 todi moda dorivnyuvatime 0 i n vidpovidno Ci vipadki mozhna uzagalniti nastupnim chinom Moda n 1 p yaksho n 1 p dorivnyuye 0 abo ne ye cilim n 1 p i n 1 p 1 yaksho n 1 p 1 n n yaksho n 1 p n 1 displaystyle text Moda begin cases lfloor n 1 p rfloor amp text yaksho n 1 p text dorivnyuye 0 abo ne ye cilim n 1 p text i n 1 p 1 amp text yaksho n 1 p in 1 dots n n amp text yaksho n 1 p n 1 end cases Dovedennya Nehaj f k n k p k q n k displaystyle f k binom n k p k q n k Dlya p 0 displaystyle p 0 lishe f 0 displaystyle f 0 matime ne nulove znachennya f 0 1 displaystyle f 0 1 Dlya p 1 displaystyle p 1 mayemo sho f n 1 displaystyle f n 1 i f k 0 displaystyle f k 0 dlya k n displaystyle k neq n Ce dovodit sho moda dorivnyuye 0 dlya p 0 displaystyle p 0 i n displaystyle n dlya p 1 displaystyle p 1 Nehaj 0 lt p lt 1 displaystyle 0 lt p lt 1 Znajdemo sho f k 1 f k n k p k 1 1 p displaystyle frac f k 1 f k frac n k p k 1 1 p Z cogo viplivaye k gt n 1 p 1 f k 1 lt f k k n 1 p 1 f k 1 f k k lt n 1 p 1 f k 1 gt f k displaystyle begin aligned k gt n 1 p 1 Rightarrow f k 1 lt f k k n 1 p 1 Rightarrow f k 1 f k k lt n 1 p 1 Rightarrow f k 1 gt f k end aligned Tozh koli n 1 p 1 displaystyle n 1 p 1 ye cilim todi n 1 p 1 displaystyle n 1 p 1 i n 1 p displaystyle n 1 p ye modoyu U vipadku koli n 1 p 1 Z displaystyle n 1 p 1 notin mathbb Z todi modoyu bude lishe n 1 p 1 1 n 1 p displaystyle lfloor n 1 p 1 rfloor 1 lfloor n 1 p rfloor Mediana Zagalom ne isnuye yedinoyi formuli dlya znahodzhennya mediani binomialnogo rozpodilu krim togo vona mozhe buti ne unikalnoyu Odnak isnuye dekilka rezultativ dlya osoblivih vipadkiv Yaksho np cile chislo todi serednye mediana i moda zbigayutsya mizh soboyu i dorivnyuyut np Bud yaka mediana m obov yazkovo znahoditsya v seredini intervalu np m np Mediana m ne mozhe znahoditisya daleko vid serednogo m np min ln 2 max p 1 p Mediana bude yedinoyu i dorivnyuvatime m okruglene np yaksho m np min p 1 p krim vipadku koli p 1 2 ta n ye neparnimi Yaksho p 1 2 ta n neparni bud yake chislo m u intervali 1 2 n 1 m 1 2 n 1 ye medianoyu binomialnogo rozpodilu Yaksho p 1 2 i n parni todi m n 2 ye yedinoyu medianoyu Kovariaciya mizh dvoma binomialnimi rozpodilamiYaksho odnochasno sposterigalisya dvi binomialno rozpodileni vipadkovi velichini X i Y mozhe buti korisnim viznachiti yih kovariaciyu Kovariaciya ce Cov X Y E X Y m X m Y displaystyle operatorname Cov X Y operatorname E XY mu X mu Y U vipadku koli n 1 u vipadku iz shemoyu viprobuvan Bernulli XY ne nulove lishe koli obidvi X i Y ye odiniceyu a mX i mY dorivnyuyut dvom imovirnostyam Yaksho viznachiti pB yak imovirnist viniknennya oboh podij odnochasno otrimayemo Cov X Y p B p X p Y displaystyle operatorname Cov X Y p B p X p Y i dlya n nezalezhnih poparnih viprobuvan Cov X Y n n p B p X p Y displaystyle operatorname Cov X Y n n p B p X p Y Yaksho X i Y ye odniyeyu i tiyeyu zh vipadkovoyu velichinoyu cej viraz sproshuyetsya do virazu viznachennya dispersiyi yakij navedeno vishe v cij statti Zv yazok z inshimi rozpodilamiNehaj nezalezhni vipadkovi velichini 3 1 3 2 3 n displaystyle xi 1 xi 2 xi n mayut rozpodil Bernulli z parametrom p tobto L 3 i B p i 1 n displaystyle mathcal L xi i B p i overline 1 n todi vipadkova velichina 3 i 1 n 3 i displaystyle xi sum i 1 n xi i maye binomialnij rozpodil z parametrami p n tobto L 3 B i n p displaystyle mathcal L xi Bi n p Suma binomialno rozpodilenih velichin Yaksho X B n p i Y B m p ye nezalezhnimi vipadkovimi velichinami iz binomialnim rozpodilom iz odnakovoyu jmovirnistyu p todi X Y takozh bude binomialno rozpodilenoyu velichinoyu i yiyi rozpodilom bude Z X Y B n m p P Z k i 0 k n i p i 1 p n i m k i p k i 1 p m k i n m k p k 1 p n m k displaystyle begin aligned operatorname P Z k amp sum i 0 k left binom n i p i 1 p n i right left binom m k i p k i 1 p m k i right amp binom n m k p k 1 p n m k end aligned Odnak yaksho X i Y ne mayut odnakovoyi imovirnosti p todi dispersiya sumi velichin bude menshoyu za dispersiyu vipadkovoyi velichini iz binomialnim rozpodilom viglyadu B n m p displaystyle B n m bar p Vidnoshennya dvoh binomialnih rozpodiliv Nehaj p1 i p2 ce imovirnosti uspishnogo viprobuvannya u binomialnih rozpodilah B X n i B Y m vidpovidno Nehaj T X n Y m Todi log T ye nablizheno normalno rozpodilenoyu velichinoyu iz serednim log p1 p2 i dispersiyeyu 1 p1 1 n 1 p2 1 m Umovni binomialni velichini Yaksho ye X B n p i pri X isnuye deyaka umovna velichina Y B X q todi Y ye prostoyu binomialnoyu velichinoyu iz rozpodilom Y B n pq Napriklad uyavimo sho htos kidaye n m yachiv u koshik UX i vijmaye ti m yachi yaki uspishno potrapili u koshik ta klade yih u inshij koshik UY Yaksho p oznachaye imovirnist vluchiti v UX todi X B n p ce kilkist m yachiv yaki vluchili u UX Yaksho q ce imovirnist potrapiti u UY todi kilkistyu m yachiv yaki potraplyat u UY bude Y B X q i takim chinom Y B n pq Dovedennya Oskilki X B n p displaystyle X sim B n p i Y B X q displaystyle Y sim B X q za formuloyu povnoyi imovirnosti Pr Y m k m n Pr Y m X k Pr X k k m n n k k m p k q m 1 p n k 1 q k m displaystyle begin aligned Pr Y m amp sum k m n Pr Y m mid X k Pr X k 2pt amp sum k m n binom n k binom k m p k q m 1 p n k 1 q k m end aligned Oskilki n k k m n m n m k m displaystyle tbinom n k tbinom k m tbinom n m tbinom n m k m to vishenavedene rivnyannya mozhna zapisati v nastupnij formi Pr Y m k m n n m n m k m p k q m 1 p n k 1 q k m displaystyle Pr Y m sum k m n binom n m binom n m k m p k q m 1 p n k 1 q k m Rozbivshi na mnozhniki p k p m p k m displaystyle p k p m p k m i vidilivshi vsi mnozhniki yaki ne zalezhat vid k displaystyle k sumu mozhna zvesti do nastupnogo Pr Y m n m p m q m k m n n m k m p k m 1 p n k 1 q k m n m p q m k m n n m k m p 1 q k m 1 p n k displaystyle begin aligned Pr Y m amp binom n m p m q m left sum k m n binom n m k m p k m 1 p n k 1 q k m right 2pt amp binom n m pq m left sum k m n binom n m k m left p 1 q right k m 1 p n k right end aligned Zaminivshi i k m displaystyle i k m u vishenavedenomu virazi otrimayemo Pr Y m n m p q m i 0 n m n m i p p q i 1 p n m i displaystyle Pr Y m binom n m pq m left sum i 0 n m binom n m i p pq i 1 p n m i right Pomitimo sho vishenavedena suma u duzhkah dorivnyuye p p q 1 p n m displaystyle p pq 1 p n m vidpovidno do teoremi pro binom Nyutona Pidstavivshi ce u viraz zreshtoyu otrimayemo Pr Y m n m p q m p p q 1 p n m n m p q m 1 p q n m displaystyle begin aligned Pr Y m amp binom n m pq m p pq 1 p n m 4pt amp binom n m pq m 1 pq n m end aligned i takim chinom Y B n p q displaystyle Y sim B n pq sho i treba bulo dovesti Rozpodil Bernulli Rozpodil Bernulli ye osoblivim vipadkom binomialnogo rozpodilu de n 1 Simvolichno X B 1 p maye odnakove serednye yak i X B p I navpaki bud yakij binomialnij rozpodil B n p ye rozpodilom sumi iz n viprobuvan Bernulli B p kozhne z yakih maye odnakovu imovirnist p Normalne nablizhennya Binomialna funkciya masovoyi imovirnosti i aproksimaciya funkciyi gustini imovirnostej normalnogo rozpodilu dlya n 6 i p 0 5 Yaksho n ye dosit velikim todi zsuv binomialnogo rozpodilu ne bude duzhe velikim V takomu vipadku normalnij rozpodil mozhe buti vipravdanim nablizhennyam dlya B n p N n p n p 1 p displaystyle mathcal N np np 1 p a ce bazove nablizhennya mozhna pokrashiti vikoristavshi vdalu en Bazove nablizhennya znachno staye krashim pri zbilshenni n prinajmni bilshe nizh 20 i bude krashim koli p ne ye blizkoyu do 0 abo 1 Mozhut vikoristovuvatisya rizni empirichni pravila yaki viznachayut chi ye n dostatno velikoyu a znachennya p ye dosit dalekim vid krajnih znachen nulya abo odinici Odne iz pravil govorit sho dlya n gt 5 normalne nablizhennya bude adekvatnim yaksho absolyutne znachennya zsuvu ye strogo menshim nizh 1 3 tobto yaksho 1 2 p n p 1 p 1 n 1 p p p 1 p lt 1 3 displaystyle frac 1 2p sqrt np 1 p frac 1 sqrt n left sqrt frac 1 p p sqrt frac p 1 p right lt frac 1 3 dd Bilsh posilene pravilo govorit sho normalna aproksimaciya bude prijnyatnoyu lishe yaksho vsi mozhlivi znachennya znahodyatsya v mezhah 3 standartnih vidhilen vid serednogo znachennya tobto lishe yaksho m 3 s n p 3 n p 1 p 0 n displaystyle mu pm 3 sigma np pm 3 sqrt np 1 p in 0 n dd Ce pravilo pro 3 standartni vidhilennya bude ekvivalentne nastupnim navedenim umovam yaki takozh zumovlyuyut vikonannya i pershogo pravila opisanogo vishe n gt 9 1 p p i n gt 9 p 1 p displaystyle n gt 9 frac 1 p p quad hbox i quad n gt 9 frac p 1 p dd Dovedennya Pravilo n p 3 n p 1 p 0 n displaystyle np pm 3 sqrt np 1 p in 0 n ye povnistyu ekvivalentnim vimozi sho n p 3 n p 1 p gt 0 i n p 3 n p 1 p lt n displaystyle np 3 sqrt np 1 p gt 0 quad hbox i quad np 3 sqrt np 1 p lt n Yaksho perestaviti mnozhniki otrimayemo n p gt 3 n p 1 p i n 1 p gt 3 n p 1 p displaystyle np gt 3 sqrt np 1 p quad hbox i quad n 1 p gt 3 sqrt np 1 p Oskilki 0 lt p lt 1 displaystyle 0 lt p lt 1 mi mozhemo pidnesti virazi u kvadrat i podiliti na vidpovidni mnozhniki n p 2 displaystyle np 2 ta n 1 p 2 displaystyle n 1 p 2 i otrimayemo bazhani umovi n gt 9 1 p p i n gt 9 p 1 p displaystyle n gt 9 frac 1 p p quad hbox i quad n gt 9 frac p 1 p Zauvazhimo sho ci umovi avtomatichno oznachayut sho n gt 9 displaystyle n gt 9 Z inshogo boku znovu zastosuvavshi kvadratnij korin do nerivnostej i podilivshi na 3 n 3 gt 1 p p gt 0 i n 3 gt p 1 p gt 0 displaystyle frac sqrt n 3 gt sqrt frac 1 p p gt 0 quad hbox i quad frac sqrt n 3 gt sqrt frac p 1 p gt 0 Vidnyavshi drugij nabir nerivnostej iz pershogo otrimayemo n 3 gt 1 p p p 1 p gt n 3 displaystyle frac sqrt n 3 gt sqrt frac 1 p p sqrt frac p 1 p gt frac sqrt n 3 tozh neobhidne pershe pravilo bude vikonuvatisya 1 p p p 1 p lt n 3 displaystyle left sqrt frac 1 p p sqrt frac p 1 p right lt frac sqrt n 3 Inshim zagalnovzhivanim pravilom ye te sho obidva znachennya n p displaystyle np i n 1 p displaystyle n 1 p mayut buti bilshimi abo dorivnyuvati 5 Odnak konkretne znachennya cogo chisla zustrichayetsya riznim v riznih dzherelah i zalezhit vid togo naskilki horoshim maye buti nablizhennya Zokrema yaksho vikoristati znachennya 9 zamist navedenogo 5 pravilo prizvodit do rezultativ sho otrimani v poperednij chastini rozdilu Dovedennya Pripustimo sho obidva znachennya n p displaystyle np i n 1 p displaystyle n 1 p ye bilshimi za chislo 9 Oskilki 0 lt p lt 1 displaystyle 0 lt p lt 1 mi mozhemo stverdzhuvati sho n p 9 gt 9 1 p i n 1 p 9 gt 9 p displaystyle np geq 9 gt 9 1 p quad hbox i quad n 1 p geq 9 gt 9p Teper neobhidno lishe podiliti ce na vidpovidni mnozhniki p displaystyle p i 1 p displaystyle 1 p abi vivesti alternativnu formu pravila pro 3 standartni vidhilennya n gt 9 1 p p i n gt 9 p 1 p displaystyle n gt 9 frac 1 p p quad hbox i quad n gt 9 frac p 1 p Navedemo priklad zastosuvannya en Pripustimo sho neobhidno rozrahuvati Pr X 8 dlya binomialno rozpodilenoyi vipadkovoyi velichini X Yaksho Y maye rozpodil zadanij u viglyadi normalnogo nablizhennya todi Pr X 8 mozhna nabliziti za dopomogoyu Pr Y 8 5 Dodavannya 0 5 ye popravkoyu neperervnosti normalne nablizhennya bez popravki daye mensh tochnij rezultat Ce nablizhennya vidome yak Lokalna teorema Muavra Laplasa vona dozvolyaye znachno zekonomiti chas yaksho rozrahunki vikonuyutsya vruchnu tochnij rozrahunok pri velikih n ye duzhe obtyazhlivim istorichno ce bulo pershim zastosuvannyam normalnogo rozpodilu yake bulo predstavleno u knizi Abrahama de Muavra en v 1738 Sogodni yiyi mozhna rozglyadati yak naslidok iz centralnoyi granichnoyi teoremi oskilki B n p ye sumoyu iz n nezalezhnih odnakovo rozpodilenih vipadkovih velichin iz rozpodilom Bernulli iz parametrom p Cej fakt ye osnovoyu dlya perevirki statistichnih gipotez proporcijnogo z testu dlya znachennya p vikoristovuyuchi rozrahunok x n sho ye proporciyeyu vibirki i ocinkoyu dlya p u zagalnih statistichnih perevirkah Napriklad pripustimo sho htos zrobiv vibirku po n lyudyam iz usiyeyi populyaciyi lyudej i zapitav yih chi pogodzhuyutsya voni z pevnim tverdzhennyam Chastka lyudej yaka pogoditsya z vislovlyuvannyam ochevidno bude zalezhati vid vibirki Yaksho grupi iz n lyudej buli obrani povtorno i dijsno vipadkovim chinom cya proporciya bude vidpovidati nablizhenomu normalnomu rozpodilu iz serednim sho dorivnyuye istinnomu spivvidnoshennyu p togo sho lyudi pogodzhuyutsya iz tverdzhennyam v cij sukupnosti i matime standartne vidhilennya s p 1 p n displaystyle sigma sqrt frac p 1 p n Nablizhennya Puassona Binomialnij rozpodil nablizhayetsya do Rozpodilu Puassona yaksho kilkist sprob zrostaye do neskinchennosti v toj chas yak dobutok np zalishayetsya nezminnim abo p pryamuye do nulya Tomu rozpodil Puassona iz parametrom l np mozhe vikoristovuvatisya dlya nablizhennya binomialnogo rozpodilu B n p yaksho n maye dosit velike znachennya i p znachno mala Vidpovidno do dvoh pravil ce nablizhennya ye dobrim yaksho n 20 i p 0 05 abo yaksho n 100 i np 10 Granichni rozpodili Teorema Puassona Z tim yak n nablizhayetsya do i p nablizhayetsya do 0 pri stalomu dobutku np Binomialnij rozpodil B n p nablizhayetsya do rozpodilu Puassona iz matematichnim spodivannyam l np Lokalna teorema Muavra Laplasa Z tim yak n nablizhayetsya do poki p zalishayetsya stalim rozpodil velichini X n p n p 1 p displaystyle frac X np sqrt np 1 p dd nablizhayetsya do normalnogo rozpodilu iz matematichnim spodivannyam 0 i dispersiyeyu 1 Cej rezultat v ne suvorij formi inodi formulyuyut yak te sho rozpodil velichini X bude en iz matematichnim spodivannyam np i dispersiyeyu np 1 p Cej rezultat ye osoblivim vipadkom centralnoyi granichnoyi teoremi Beta rozpodil Beta rozpodili dozvolyayut mati simejstvo apriornih rozpodiliv imovirnostej dlya binomialnih rozpodiliv pri Bayesovomu vivedenni P p a b p a 1 1 p b 1 B a b displaystyle P p alpha beta frac p alpha 1 1 p beta 1 mathrm B alpha beta Div takozhPortal Matematika Rozpodil Bernulli Rozpodil jmovirnostej Shema Bernulli Funkciya rozpodilu jmovirnostejDzherelaGnyedenko B V Kurs teoriyi jmovirnostej Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2010 464 s Kartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Gihman I I Skorohod A V Yadrenko M V Teoriya veroyatnostej i matematicheskaya statistika Kiyiv Visha shkola 1988 436 s ros PrimitkiHamza K 1995 The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions Statist Probab Lett 23 21 25 Wadsworth G P 1960 New York McGraw Hill s 52 Arhiv originalu za 4 travnya 2019 Procitovano 7 bereznya 2019 See Proof Wiki 4 travnya 2019 u Wayback Machine See also the answer to the question finding mode in Binomial distribution Neumann P 1966 Uber den Median der Binomial and Poissonverteilung Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universitat Dresden German 19 29 33 Lord Nick July 2010 Binomial averages when the mean is an integer 94 331 332 Kaas R Buhrman J M 1980 Mean Median and Mode in Binomial Distributions Statistica Neerlandica 34 1 13 18 doi 10 1111 j 1467 9574 1980 tb00681 x Hamza K 1995 The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions Statistics amp Probability Letters 23 21 25 doi 10 1016 0167 7152 94 00090 U Katz D et al 1978 Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies Biometrics 34 469 474 Taboga Marco statlect com Arhiv originalu za 22 grudnya 2017 Procitovano 18 grudnya 2017 Box Hunter and Hunter 1978 Statistics for experimenters Wiley s 130 NIST 7 2 4 Does the proportion of defectives meet requirements 30 listopada 2018 u Wayback Machine e Handbook of Statistical Methods NIST 6 3 3 1 Counts Control Charts 11 bereznya 2008 u Wayback Machine e Handbook of Statistical Methods Sho stosuyetsya tochnosti nablizhennya Puassona div Novak S Y 2011 Extreme value methods with applications to finance London CRC Chapman amp Hall Taylor amp Francis ISBN 9781 43983 5746 ch 4 and references therein MacKay David 2003 Information Theory Inference and Learning Algorithms Cambridge University Press First Edition ISBN 978 0521642989