У математиці, для послідовності чисел нескінченний добуток
визначається, як границя часткових добутків при . Добуток називається збіжним, коли границя існує і не рівна нулю. В іншому випадку добуток називається розбіжним. Випадок, в якому границя рівна нулю, розглядається окремо, для отримання результатів, аналогічних результатам для рядів.
Властивості
Якщо добуток є збіжним, тоді необхідно виконується гранична рівність . Отже логарифм визначений для всіх , за винятком скінченного числа значень, існування яких не впливає на збіжність. Якщо всі члени послідовності додатні то виконується рівність:
у якому збіжність ряду в правій частині рівносильна збіжності нескінченного добуткуу в лівій. Це дозволяє переформулювати критерій збіжності ряду в критерій збіжності нескінченних добутків. Для добутків, таких, що для будь-якого , позначимо , тоді і , звідки слідує нерівність:
яка показує, що нескінченний добуток збігається тоді і тільки тоді, коли збігається ряд .
У випадку для будь-якого збіжність нескінченного добутку також еквівалентна збіжності ряду . У загальному випадку збіжность рядів і є достатньою умовою збіжності .
Приклади
Найбільш відомі приклади нескінченних добутків, деякі формули для , такі як наступні два нескінченні добутки, доведені відповідно Франсуа Вієтом і Джоном Валлісом
Представлення функції у вигляді нескінченного добутку
Один важливий результат про нескінченні добутки — те, що будь-яка ціла функція , з коренями , де точка 0 — корінь порядку , може бути представлена у вигляді нескінченного добутку виду
,
де — деяка ціла функція, а невід'ємні цілі числа підібрані так, щоб ряд сходився. При відповідна множнику номер експонента опускається (вважається рівною ).
Приклади
| ||
| ||
|
| |
| де pn — послідовність простих чисел. |
Див. також
Посилання
- Infinite products from Wolfram Math World
Література
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici dlya poslidovnosti chisel a 1 a 2 a 3 displaystyle a 1 a 2 a 3 dots neskinchennij dobutok n 1 a n a 1 a 2 a 3 displaystyle prod n 1 infty a n a 1 a 2 a 3 dots viznachayetsya yak granicya chastkovih dobutkiv a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 dots a n pri n displaystyle n to infty Dobutok nazivayetsya zbizhnim koli granicya isnuye i ne rivna nulyu V inshomu vipadku dobutok nazivayetsya rozbizhnim Vipadok v yakomu granicya rivna nulyu rozglyadayetsya okremo dlya otrimannya rezultativ analogichnih rezultatam dlya ryadiv VlastivostiYaksho dobutok ye zbizhnim todi neobhidno vikonuyetsya granichna rivnist lim n a n 1 displaystyle lim n to infty a n 1 Otzhe logarifm ln a n displaystyle ln a n viznachenij dlya vsih n displaystyle n za vinyatkom skinchennogo chisla znachen isnuvannya yakih ne vplivaye na zbizhnist Yaksho vsi chleni poslidovnosti a n displaystyle a n dodatni to vikonuyetsya rivnist ln n 1 a n n 1 ln a n displaystyle ln prod n 1 infty a n sum n 1 infty ln a n u yakomu zbizhnist ryadu v pravij chastini rivnosilna zbizhnosti neskinchennogo dobutkuu v livij Ce dozvolyaye pereformulyuvati kriterij zbizhnosti ryadu v kriterij zbizhnosti neskinchennih dobutkiv Dlya dobutkiv takih sho dlya bud yakogo n displaystyle n a n 1 displaystyle a n geqslant 1 poznachimo p n a n 1 displaystyle p n a n 1 todi a n p n 1 displaystyle a n p n 1 i p n 0 displaystyle p n geqslant 0 zvidki sliduye nerivnist 1 n 1 N p n n 1 N 1 p n exp n 1 N p n displaystyle 1 sum n 1 N p n leqslant prod n 1 N left 1 p n right leqslant exp left sum n 1 N p n right yaka pokazuye sho neskinchennij dobutok n 1 a n displaystyle prod n 1 infty a n zbigayetsya todi i tilki todi koli zbigayetsya ryad n 1 p n displaystyle sum n 1 infty p n U vipadku 1 gt a n gt 0 displaystyle 1 gt a n gt 0 dlya bud yakogo n displaystyle n zbizhnist neskinchennogo dobutku n 1 a n displaystyle prod n 1 infty a n takozh ekvivalentna zbizhnosti ryadu n 1 p n displaystyle sum n 1 infty p n U zagalnomu vipadku zbizhnost ryadiv n 1 p n displaystyle sum n 1 infty p n i n 1 p n 2 displaystyle sum n 1 infty p n 2 ye dostatnoyu umovoyu zbizhnosti n 1 a n displaystyle prod n 1 infty a n Prikladi Najbilsh vidomi prikladi neskinchennih dobutkiv deyaki formuli dlya p displaystyle pi taki yak nastupni dva neskinchenni dobutki dovedeni vidpovidno Fransua Viyetom i Dzhonom Vallisom 2 p 2 2 2 2 2 2 2 2 2 displaystyle frac 2 pi frac sqrt 2 2 cdot frac sqrt 2 sqrt 2 2 cdot frac sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 2 cdots p 2 2 1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8 7 8 9 n 1 4 n 2 4 n 2 1 displaystyle frac pi 2 frac 2 1 cdot frac 2 3 cdot frac 4 3 cdot frac 4 5 cdot frac 6 5 cdot frac 6 7 cdot frac 8 7 cdot frac 8 9 cdots prod n 1 infty left frac 4n 2 4n 2 1 right Predstavlennya funkciyi u viglyadi neskinchennogo dobutkuOdin vazhlivij rezultat pro neskinchenni dobutki te sho bud yaka cila funkciya f displaystyle f z korenyami 0 a n displaystyle 0 cup a n to infty de tochka 0 korin poryadku l displaystyle lambda mozhe buti predstavlena u viglyadi neskinchennogo dobutku vidu f z z l e h z 1 1 z a n exp z a n 1 2 z a n 2 1 p n z a n p n displaystyle f z z lambda e h z prod 1 infty left 1 frac z a n right exp left frac z a n frac 1 2 left frac z a n right 2 dots frac 1 p n left frac z a n right p n right de h displaystyle h deyaka cila funkciya a nevid yemni cili chisla p n displaystyle p n pidibrani tak shob ryad 1 z a n p n 1 displaystyle sum 1 infty left frac z a n right p n 1 shodivsya Pri p n 0 displaystyle p n 0 vidpovidna mnozhniku nomer n displaystyle n eksponenta opuskayetsya vvazhayetsya rivnoyu exp 0 1 displaystyle exp 0 1 Prikladi Sinussin p z p z n 1 1 z 2 n 2 displaystyle sin pi z pi z prod n 1 infty left 1 frac z 2 n 2 right Gamma funkciya1 G z z e g z n 1 1 z n e z n displaystyle 1 Gamma z z mbox e gamma z prod n 1 infty left 1 frac z n right mbox e z n s z z w L 1 z w e 1 2 w 2 z 2 1 w z displaystyle sigma z z prod omega in Lambda left 1 frac z omega right e frac 1 2 omega 2 z 2 frac 1 omega z Dzeta funkciya Rimanaz z n 1 1 1 p n z displaystyle zeta z prod n 1 infty frac 1 1 p n z de pn poslidovnist prostih chisel Div takozhFormula VallisaPosilannyaInfinite products from Wolfram Math WorldLiteraturaGrigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr