Описане коло

Описане коло многокутника — коло, що містить всі вершини многокутника. Центром є точка (прийнято позначати O) перетину серединних перпендикулярів до сторін многокутника.

Центр описаного кола опуклого n-кутника лежить на точці перетину серединних перпендикулярів його сторін. Звідси випливає, що коли навколо n-кутника побудоване описане коло, то всі серединні перпендикуляри до його сторін перетинаються в одній точці (центрі кола).

Навколо будь-якого правильного многокутника можна описати коло.

Трикутник

Коло, описане довкола трикутника

• Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, до того ж тільки одне. Його центром буде точка перетину серединних перпендикулярів.

• У гострокутного трикутника центр описаного кола лежить всередині, у тупокутного — поза трикутником, у прямокутного — на середині гіпотенузи.

• Гострокутний
• Тупокутний
• Прямокутний

Позначаємо літерою О точку перетину серединних перпендикулярів до його сторін та проведемо відрізки ОА, ОВ і ОС. Оскільки точка О рівновіддалена від вершин трикутника АВС, то ОА = OB = ОС. Тому коло з центром О радіусу ОА проходить через всі три вершини трикутника і, отже, є описаним навколо трикутника ABC.

• 3 4 кіл, описаних відносно серединних трикутників (утворених середніми лініями трикутника), перетинаються в одній точці всередині трикутника. Ця точка і є центром описаного кола основного трикутника.
• Центр описаного навколо трикутника кола служить ортоцентром трикутника з вершинами на серединах сторін даного трикутника. Ортоцентр трикутника — це точка перетину висот трикутника або їх продовжень.
• Відстань від вершини трикутника до ортоцентра вдвічі більше, ніж відстань від центра описаного кола до протилежної сторони.
• Радіус описаного кола можна знайти за формулами:

${\displaystyle R={\frac {abc}{4S}}}$

${\displaystyle R={\frac {a}{2\sin \alpha }}}$

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}={\frac {abc}{4{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}}$

Де:

${\displaystyle a,b,c}$ — сторони трикутника,

${\displaystyle \alpha }$ — кут, що лежить навпроти сторони ${\displaystyle a}$,

${\displaystyle p}$ — півпериметр трикутника.

${\displaystyle S}$ — площа трикутника.

• Положення центра описаного кола.

Нехай ${\displaystyle ~{\mathbf {r} }_{A},{\mathbf {r} }_{B},{\mathbf {r} }_{C}}$ радіус-вектори вершин трикутника, ${\displaystyle ~\mathbf {r} _{O}}$ — радіус-вектор центра описаного кола. Тоді

${\displaystyle ~\mathbf {r} _{O}=\alpha _{A}\mathbf {r} _{A}+\alpha _{B}\mathbf {r} _{B}+\alpha _{C}\mathbf {r} _{C}}$

де

${\displaystyle \alpha _{A}={\frac {a^{2}}{8S^{2}}}(\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B},\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{C}),\qquad \alpha _{B}={\frac {b^{2}}{8S^{2}}}(\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A},\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{C}),\qquad \alpha _{C}={\frac {c^{2}}{8S^{2}}}(\mathbf {r} _{C}-\mathbf {r} _{A},\mathbf {r} _{C}-\mathbf {r} _{B})}$

• Рівняння описаного кола.

Нехай${\displaystyle ~{\mathbf {r} }_{A}=(x_{A},y_{A}),{\mathbf {r} }_{B}=(x_{B},y_{B}),{\mathbf {r} }_{C}=(x_{C},y_{C})}$ координати вершин трикутника в певній декартовій системі координат на площині, ${\displaystyle ~\mathbf {r} _{O}=(x_{O},y_{O})}$ — координати центра описаного кола. Тоді

${\displaystyle x_{O}={\frac {1}{4S}}{\begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&y_{A}&1\\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&y_{B}&1\\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&y_{C}&1\end{vmatrix}}\qquad y_{O}=-{\frac {1}{4S}}{\begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&1\\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&1\\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&1\end{vmatrix}}}$

а рівняння описаного кола має вигляд

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}=0}$

Для точок ${\displaystyle ~(x,y)}$, що лежать всередині кола, визначник негативний, а для точок поза нею — позитивний.

• Теорема про тризубець: Якщо ${\displaystyle W}$ — точка перетину бісектриси кута ${\displaystyle A}$ з описаним колом, а ${\displaystyle I}$ — центр вписаного кола то ${\displaystyle |WI|=|WB|=|WC|}$.

• Формула Ейлера: Якщо ${\displaystyle d}$ — відстань між центрами вписаного і описаного кіл, а їхні радіуси дорівнюють ${\displaystyle r}$ і ${\displaystyle R}$ відповідно, то ${\displaystyle d^{2}=R^{2}-2Rr}$.

Чотирикутник

Малюнок до теореми Птолемея

Вписаний простий (без самоперетинів) чотирикутник обов'язково є опуклим .

Навколо опуклого чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його внутрішніх протилежних кутів дорівнює 180 ° (π радіан).

Радіус описаного кола правильного ${\displaystyle n}$-кутника з довжиною сторін ${\displaystyle a}$ дорівнює:

${\displaystyle R={\frac {a}{2\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}}}}$

Можна описати коло навколо:

• будь-якого прямокутника (окремий випадок: квадрат)
• будь-якої рівнобедреної трапеції

• Теорема Птолемея: у чотирикутника, вписаного в коло, добуток довжин діагоналей дорівнює сумі добутків довжин пар протилежних сторін:

|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|

Многокутник

Якщо з відрізків скласти многокутник, то його площа буде максимальною, коли він вписаний.

Див. також

• Вписане коло
• Коло
• Трикутник
• Конциклічні точки

Примітки

1. Теорема Птолемея

Література

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 53-54. —
• Л. Е. Гендельштейн, А. П. Єршова, Наочний довідник з геометрії, Гімназія, 1997 — .

Посилання

• Анімація: описане коло трикутника