Нерівність Бішопа — Громова

Нерівність Бішопа — Громова — теорема порівняння в рімановій геометрії. Є ключовим твердженням у доведенні теореми Громова про компактність.

Нерівність названа на честь ^[en] та Михайла Громова.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle M}$ — повний n-вимірний ріманів многовид з обмеженою знизу кривиною Річчі, тобто

${\displaystyle \mathrm {Ric} \geqslant (n-1)K}$

для сталої ${\displaystyle K\in \mathbb {R} }$.

Позначимо через ${\displaystyle B(p,r)_{M}}$ кулю радіуса r навколо точки p, визначену відносно ріманової функції відстані.

Нехай ${\displaystyle \mathbb {M} ^{n}(K)}$ позначає n-вимірний модельний простір. Тобто ${\displaystyle \mathbb {M} ^{n}(K)}$ — повний n-вимірний однозв'язний простір сталої секційної кривини ${\displaystyle K}$. Таким чином,

• ${\displaystyle \mathbb {M} ^{n}(K)}$ є n-сферою радіуса ${\displaystyle 1/{\sqrt {K}}}$, якщо ${\displaystyle K>0}$, або
• n-вимірним евклідовим простором, якщо ${\displaystyle K=0}$, або
• простором Лобачевського з кривиною ${\displaystyle K<0}$.

Тоді для будь-яких ${\displaystyle p\in M}$ і ${\displaystyle {\tilde {p}}\in \mathbb {M} ^{n}(K)}$ функція

${\displaystyle \phi (r)={\frac {\operatorname {Vol} B(p,r)_{M}}{\operatorname {Vol} B({\tilde {p}},r)_{\mathbb {M} ^{n}(K)}}}}$

не зростає в інтервалі ${\displaystyle (0,\infty )}$.

Зауваження

• При ${\displaystyle K=0}$ нерівність можна записати так

  ${\displaystyle \operatorname {Vol} B(p,\lambda \cdot r)_{M}\leqslant \lambda ^{n}\cdot \operatorname {Vol} B(p,r)_{M}}$

при ${\displaystyle \lambda \geqslant 1}$ .

• Якщо r прямує до нуля, то співвідношення наближається до одиниці, отже разом із монотонністю це означає, що

  ${\displaystyle \operatorname {Vol} B(p,r)_{M}\leqslant \operatorname {Vol} B({\tilde {p}},r)_{\mathbb {M} ^{n}(K)}.}$

Цю версію вперше довів Бішоп.

Див. також

• Теорема Маєрса

Примітки

1. , , Введение в риманову геометрию 1991, с. 320, (22.5)
2. Bishop, R. A relation between volume, mean curvature, and diameter. Amer. Math. Soc. Not. 10 (1963), p. 364.
3. Bishop R.L., Crittenden R.J. Geometry of manifolds, Corollary 4, p. 256