Граничні умови Борна-Кармана

Граничні умови Борна-Кармана — ^[en], які накладаються на хвильові функції в нескінченному середовищі з трансляційною симетрією з метою дискретизації неперервного спектру одноелектронних станів.

За теоремою Блоха, хвильові функції в середовищі з трансляційною симетрією, наприклад, в нескінченному кристалі, мають вигляд

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\phi (\mathbf {r} )}$,

де ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$ — періодична функція.

При застосуванні граничних умов Борна-Кармана додатково вимагають періодичності хвильової функції з періодом ${\displaystyle N\mathbf {a} }$, де ${\displaystyle \mathbf {a} }$ — базовий вектор елементарної комірки кристала, а N — велике число. В такому випадку хвильовий вектор ${\displaystyle \mathbf {k} }$ може мати тільки дискретні значення (залежні від N):

${\displaystyle \mathbf {k} _{i}={\frac {i}{N}}\mathbf {b} }$,

де ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — вектор оберненої ґратки.

Дискретизація спектру проводиться для зручності роботи з хвильовими функціями і квантовими числами.

При виконанні підсумовувань по хвильових векторах зручно проводити обернений перехід до неперервного спектру за схемою

${\displaystyle \sum _{\mathbf {k} }\rightarrow {\frac {V}{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}k}$,

де V — об'єм кристала.

Див. також

• Квазічастинки