Обернена ґратка

Обернена ґратка — точкова тривимірна ґратка, періодична в просторі хвильових векторів, комплементарна до кристалічної ґратки твердого тіла.

Згенерована комп'ютером обернена ґратка вигаданого кристалу моноклінної сингонії.

Вектори оберненої ґратки

Вузли оберненої ґратки задаються векторами ${\displaystyle \mathbf {b} }$, виходячи з умови, що для будь-якого вектора кристалічної ґратки ${\displaystyle \mathbf {a} }$ виконувалася умова

${\displaystyle e^{i\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }=1}$.

Якщо ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ і ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ — вектори, які визначають примітивну комірку кристалічної ґратки, то примітивну комірку оберненої ґратки задають вектори

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\frac {2\pi }{V_{0}}}[\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}]}$,

${\displaystyle \mathbf {b} _{2}={\frac {2\pi }{V_{0}}}[\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}]}$,

${\displaystyle \mathbf {b} _{3}={\frac {2\pi }{V_{0}}}[\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}]}$,

де ${\displaystyle V_{0}=\mathbf {a_{1}} \cdot [\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}]}$ — об'єм примітивної комірки.

Будь-який інший вектор оберненої ґратки ${\displaystyle \mathbf {b} }$ може бути виражений через вектори ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$ й ${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$ за допомогою формули

${\displaystyle \mathbf {b} =n_{1}\mathbf {b} _{1}+n_{2}\mathbf {b} _{2}+n_{3}\mathbf {b} _{3}}$,

де n₁, n₂, n₃ — цілі числа.

Приклади

Для простої кубічної ґратки обернена ґратка теж проста кубічна.

Для гранецентрованої кубічної ґратки обернена ґратка об'ємноцентрована і навпаки.

Область застосування

Поняття оберненої ґратки широко використовується в фізиці твердого тіла, теорії дифракції тощо. Точкам найменших комірок оберненої ґратки можна зіставити електронні стани, й таким чином вони відіграють роль квантових чисел.

Див. також

• Зона Бріллюена
• Обернений простір
• Хвильовий вектор

Джерела

• Ансельм А. И. Введение в физику полупроводников. — М. : Наука, 1978.
• Сиротин Ю. И., Шаскольская М. П. Основы кристаллофизики. — М. : Наука, 1979. — 640 с.