Росток об'єкта на топологічному просторі висловлює локальні властивості об'єкта. У певному сенсі можна сказати, що це новий об'єкт, який переймає лише локальні властивості об'єкта, що його породив (найчастіше в ролі таких об'єктів виступають відображення). Очевидно, що різні функції можуть задавати один і той же росток. У такому випадку всі локальні властивості (неперервність, диференційовність і т. д.) у таких функцій збігаються і достатньо розглядати властивості не самих функцій, а лише їх ростків.
Формальне визначення
Росток відображень
Нехай є задана точка топологічного простору і два відображення в деяку множину . Тоді кажуть, що і належать одному й тому ж ростку в точці , якщо є такий окіл точки , для якого обмеження функцій і на збігаються. Тобто,
(Тобто ).
Очевидно, що відношення належності до одного ростка в точці є відношенням еквівалентності. Це відношення записується як . Зазвичай його позначають
Залежно від класу регулярності функцій можна розглядати і відповідні класи регулярності ростків — ростки неперервних функцій, ростки диференційовних функцій, ростки аналітичних функцій, ростки постійних функцій. Також поняття ростка поширюється на векторні поля, диференціальні форми і інші подібні об'єкти.
Росток множин
Аналогічно дві підмножини визначають один і той же росток в , якщо існує окіл точки , такий що:
Росток, що задається множиною , позначають . Відношення належності до одного ростка позначається як .
Дві множини належать одному ростку множин тоді і тільки тоді коли їх характеристичні функції належать одному ростку функцій:
Властивості
Якщо f і g належать одному ростку в точці x, тоді всі локальні властивості в них однакові, зокрема неперервність, диференційовність, аналітичність і т. д., Тому можна визначати неперервні чи диференційовні ростки в точці.
Якщо множина Y є векторним простором, тоді можна визначати суму ростків і множення на скаляр: для визначення [f]x + [g]x, спершу треба взяти представники ростка f і g, визначені в околах U і V, тоді [f]x + [g]x є ростком в точці x відображення f + g (де f + g визначене на ). Подібно a[f]x є ростком відображення af для деякого скаляра a.
Якщо на множині Y визначено множення то аналогічно до попереднього можна визначити множення ростків. Зокрема для дійснозначних чи комплекснозначних функцій можна визначити алгебру ростків в деякій точці.
Приклади класів ростків функцій
Якщо і мають додаткову структуру, можна визначити окремі важливі класи ростків функцій.
- Якщо обидва є топологічними просторами, підмножина
- неперервних функцій визначає ростки неперервних функцій.
- Якщо і є гладкими многовидами, підмножини
- -раз неперервно диференційовних функцій, підмножина
- гладких функцій і підмножина
- аналітичних функцій визначають ростки k-раз диференційовних, гладких, і аналітичних функцій.
- Якщо мають комплексну структуру (наприклад є підмножинами комплексних векторних просторів), між ними можна визначити голоморфні функцій і відповідно ростки голоморфних функцій.
- Якщо на задані алгебраїчні структури, між ними можна визначити регулярні і раціональні функції і відповідно ростки регулярних функцій' і ростки раціональних функцій.
Див. також
Література
- Nicolas Bourbaki (1989). General Topology. Chapters 1-4 (вид. paperback). Springer-Verlag. ISBN .
- Raghavan Narasimhan (1973). Analysis on Real and Complex Manifolds (вид. 2nd). North-Holland Elsevier. ISBN .
- Robert C. Gunning, Hugo Rossi (1965). Analytic Functions of Several Complex Variables. Prentice-Hall.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Rostok znachennya Rostok ob yekta na topologichnomu prostori vislovlyuye lokalni vlastivosti ob yekta U pevnomu sensi mozhna skazati sho ce novij ob yekt yakij perejmaye lishe lokalni vlastivosti ob yekta sho jogo porodiv najchastishe v roli takih ob yektiv vistupayut vidobrazhennya Ochevidno sho rizni funkciyi mozhut zadavati odin i toj zhe rostok U takomu vipadku vsi lokalni vlastivosti neperervnist diferencijovnist i t d u takih funkcij zbigayutsya i dostatno rozglyadati vlastivosti ne samih funkcij a lishe yih rostkiv Formalne viznachennyaRostok vidobrazhen Nehaj ye zadana tochka x displaystyle x topologichnogo prostoru X displaystyle X i dva vidobrazhennya f g X Y displaystyle f g X to Y v deyaku mnozhinu Y displaystyle Y Todi kazhut sho f displaystyle f i g displaystyle g nalezhat odnomu j tomu zh rostku v tochci x displaystyle x yaksho ye takij okil U displaystyle U tochki x displaystyle x dlya yakogo obmezhennya funkcij f displaystyle f i g displaystyle g na U displaystyle U zbigayutsya Tobto f U g U displaystyle f U g U Tobto x U f x g x displaystyle forall x in U f x g x Ochevidno sho vidnoshennya nalezhnosti do odnogo rostka v tochci x displaystyle x ye vidnoshennyam ekvivalentnosti Ce vidnoshennya zapisuyetsya yak f x g displaystyle f sim x g Zazvichaj jogo poznachayut f x displaystyle f x Zalezhno vid klasu regulyarnosti funkcij mozhna rozglyadati i vidpovidni klasi regulyarnosti rostkiv rostki neperervnih funkcij rostki diferencijovnih funkcij rostki analitichnih funkcij rostki postijnih funkcij Takozh ponyattya rostka poshiryuyetsya na vektorni polya diferencialni formi i inshi podibni ob yekti Rostok mnozhin Analogichno dvi pidmnozhini S T X displaystyle S T subset X viznachayut odin i toj zhe rostok v x displaystyle x yaksho isnuye okil U displaystyle U tochki x displaystyle x takij sho S U T U displaystyle S cap U T cap U Rostok sho zadayetsya mnozhinoyu S displaystyle S poznachayut S x displaystyle S x Vidnoshennya nalezhnosti do odnogo rostka poznachayetsya yak S x T displaystyle S sim x T Dvi mnozhini nalezhat odnomu rostku mnozhin todi i tilki todi koli yih harakteristichni funkciyi nalezhat odnomu rostku funkcij S x T 1 S x 1 T displaystyle S sim x T Longleftrightarrow mathbf 1 S sim x mathbf 1 T VlastivostiYaksho f i g nalezhat odnomu rostku v tochci x todi vsi lokalni vlastivosti v nih odnakovi zokrema neperervnist diferencijovnist analitichnist i t d Tomu mozhna viznachati neperervni chi diferencijovni rostki v tochci Yaksho mnozhina Y ye vektornim prostorom todi mozhna viznachati sumu rostkiv i mnozhennya na skalyar dlya viznachennya f x g x spershu treba vzyati predstavniki rostka f i g viznacheni v okolah U i V todi f x g x ye rostkom v tochci x vidobrazhennya f g de f g viznachene na U V displaystyle scriptstyle U cap V Podibno a f x ye rostkom vidobrazhennya af dlya deyakogo skalyara a Yaksho na mnozhini Y viznacheno mnozhennya to analogichno do poperednogo mozhna viznachiti mnozhennya rostkiv Zokrema dlya dijsnoznachnih chi kompleksnoznachnih funkcij mozhna viznachiti algebru rostkiv v deyakij tochci Prikladi klasiv rostkiv funkcijYaksho X displaystyle X i Y displaystyle Y mayut dodatkovu strukturu mozhna viznachiti okremi vazhlivi klasi rostkiv funkcij Yaksho X Y displaystyle X Y obidva ye topologichnimi prostorami pidmnozhina C 0 X Y Hom X Y displaystyle C 0 X Y subset mbox Hom X Y dd neperervnih funkcij viznachaye rostki neperervnih funkcij Yaksho X displaystyle X i Y displaystyle Y ye gladkimi mnogovidami pidmnozhini C k X Y Hom X Y displaystyle C k X Y subset mbox Hom X Y dd k displaystyle k raz neperervno diferencijovnih funkcij pidmnozhinaC X Y k C k X Y Hom X Y displaystyle C infty X Y bigcap k C k X Y subset mbox Hom X Y dd gladkih funkcij i pidmnozhinaC w X Y Hom X Y displaystyle C omega X Y subset mbox Hom X Y dd analitichnih funkcij viznachayut rostki k raz diferencijovnih gladkih i analitichnih funkcij Yaksho X Y displaystyle X Y mayut kompleksnu strukturu napriklad ye pidmnozhinami kompleksnih vektornih prostoriv mizh nimi mozhna viznachiti golomorfni funkcij i vidpovidno rostki golomorfnih funkcij Yaksho na X Y displaystyle X Y zadani algebrayichni strukturi mizh nimi mozhna viznachiti regulyarni i racionalni funkciyi i vidpovidno rostki regulyarnih funkcij irostki racionalnih funkcij Div takozhPuchok matematika LiteraturaNicolas Bourbaki 1989 General Topology Chapters 1 4 vid paperback Springer Verlag ISBN 3 540 64241 2 Raghavan Narasimhan 1973 Analysis on Real and Complex Manifolds vid 2nd North Holland Elsevier ISBN 0 7204 2501 8 Robert C Gunning Hugo Rossi 1965 Analytic Functions of Several Complex Variables Prentice Hall