Впорядковане поле — алгебраїчне поле, для всіх елементів якого визначено лінійний порядок, узгоджений з операціями поля. Найважливішими прикладами є поля раціональних і дійсних чисел. Термін вперше запропонував Еміль Артін у 1927 році.
Визначення
Нехай — алгебраїчне поле, для його елементів визначено лінійний порядок (менше або дорівнює) і виконуються властивості:
- Узгодженість із додаванням: якщо , то для будь-якогоz: .
- Узгодженість із множенням: якщо і , то .
Тоді поле із визначеним порядком називається впорядкованим полем. Елементи поля більші від нуля називаються додатними, а менші нуля — від'ємними.
Конструктивна побудова порядку
Один із способів визначити в полі F лінійний порядок — виділити в ньому підмножину додатних чисел P, замкнуту щодо додавання і множення і для якої три підмножини , нуль і не перетинаються і разом утворюють розбиття всього поля.
Нехай таку множину P виділено. Позначимо (ця множина теж замкнута щодо додавання і множення) і визначимо лінійний порядок у F:
- , якщо
Всі наведені вище аксіоми порядку тоді виконані.
Деякі властивості
- Кожен елемент впорядкованого поля відноситься до однієї й лише однієї з трьох категорій: додатні елементи, від'ємні елементи, нуль. Якщо додатний, то від'ємний, і навпаки.
- У будь-якому впорядкованому полі і квадрат будь-якого ненульового елемента є додатним.
- Однотипні нерівності можна додавати:
- Якщо і , то .
- Нерівності можна множити на додатні елементи:
- Якщо і , то .
- Характеристика упорядкованого поля завжди дорівнює нулю. Тому скінченне поле не може бути впорядкованим.
- Поле допускає впорядкування тоді і тільки тоді, коли не може бути представлена як сума квадратів елементів поля. Поля, що задовольняють цю властивість називаються формально дійсними полями. Зокрема ця властивість показує, що поле комплексних чисел не може бути впорядкованим.
- Найменшим впорядкованим полем є поле раціональних чисел, яке може бути впорядковано тільки одним способом. Тобто ізоморфне йому раціональне поле міститься як підполе в будь-якому іншому впорядкованому полі. Якщо у полі не існує елемента більшого, ніж всі елементи раціонального поля, поле називається архімедовим.
Підполя і розширення полів
- Підполе впорядкованого поля успадковує батьківський порядок і, отже, теж є впорядкованим полем.
- Розширення E впорядкованого поля k називається впорядкованим, якщо E — впорядковане поле, для якого k є впорядкованим підполем. Ця властивість має місце в тому і тільки в тому випадку, коли -1 не може бути подана в вигляді суми елементів виду де
Впорядковане поле називається дійсно замкнутим, якщо для нього не існує впорядкованих розширень, що не рівні самому полю. Порядок дійсно замкнутого поля завжди є єдиним. Еквівалентними є наступні властивості впорядкованого поля k:
- поле k є дійсно замкнутим,
- розширення k(i), де i2 = -1 є алгебраїчно замкнутим
- кожен додатний елемент з k є квадратом і кожен многочлен непарного степеня над k має корінь у k.
Кожне формально дійсне поле має дійсно замкнуте впорядковане алгебраїчне розширення.
Якщо k — впорядковане поле, то можна дати традиційне визначення фундаментальної послідовності. Сукупність фундаментальних послідовностей при належному ототожненні і визначенні операцій перетворюється на впорядковане розширення поля k. Якщо k — архімедове поле, то це розширення є ізоморфним полю дійсних чисел.
Приклади
- Раціональні числа
- Дійсні числа
- Дійсні алгебраїчні числа
- Поле дійсних раціональних функцій: , де — многочлен и, . Впорядкуємо його наступним чином.
- Дійсні константи (як многочлени нульового порядку) впорядковані традиційним чином.
- Нехай , Будемо вважати, що дріб , якщо .
- З визначення випливає, що многочлен є більшим, ніж будь-яка константа, тобто аксіома Архімеда для цього поля не виконується, поле є архімедовим.
- Гіпердійсні числа — ще один приклад неархімедового поля.
Див. також
Джерела
- Бурбаки Н. Алгебра ч.2 Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М. : Наука, 1965. — С. 300. — (Елементи математики)(рос.)
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)
- Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Vporyadkovane pole algebrayichne pole dlya vsih elementiv yakogo viznacheno linijnij poryadok uzgodzhenij z operaciyami polya Najvazhlivishimi prikladami ye polya racionalnih i dijsnih chisel Termin vpershe zaproponuvav Emil Artin u 1927 roci ViznachennyaNehaj F displaystyle F algebrayichne pole dlya jogo elementiv viznacheno linijnij poryadok displaystyle leqslant menshe abo dorivnyuye i vikonuyutsya vlastivosti Uzgodzhenist iz dodavannyam yaksho x y displaystyle x leqslant y to dlya bud yakogoz x z y z displaystyle x z leqslant y z Uzgodzhenist iz mnozhennyam yaksho 0 x displaystyle 0 leqslant x i 0 y displaystyle 0 leqslant y to 0 x y displaystyle 0 leqslant xy Todi pole F displaystyle F iz viznachenim poryadkom displaystyle leqslant nazivayetsya vporyadkovanim polem Elementi polya bilshi vid nulya nazivayutsya dodatnimi a menshi nulya vid yemnimi Konstruktivna pobudova poryadku Odin iz sposobiv viznachiti v poli F linijnij poryadok vidiliti v nomu pidmnozhinu dodatnih chisel P zamknutu shodo dodavannya i mnozhennya i dlya yakoyi tri pidmnozhini P displaystyle P nul i P displaystyle P ne peretinayutsya i razom utvoryuyut rozbittya vsogo polya Nehaj taku mnozhinu P vidileno Poznachimo P 0 P 0 displaystyle P 0 P cup 0 cya mnozhina tezh zamknuta shodo dodavannya i mnozhennya i viznachimo linijnij poryadok u F x y displaystyle x leqslant y yaksho y x P 0 displaystyle y x in P 0 Vsi navedeni vishe aksiomi poryadku todi vikonani Deyaki vlastivostiKozhen element vporyadkovanogo polya vidnositsya do odniyeyi j lishe odniyeyi z troh kategorij dodatni elementi vid yemni elementi nul Yaksho x displaystyle x dodatnij to x displaystyle x vid yemnij i navpaki U bud yakomu vporyadkovanomu poli 1 gt 0 displaystyle 1 gt 0 i kvadrat bud yakogo nenulovogo elementa ye dodatnim Odnotipni nerivnosti mozhna dodavati Yaksho x y displaystyle x leqslant y i x y displaystyle x leqslant y to x x y y displaystyle x x leqslant y y Nerivnosti mozhna mnozhiti na dodatni elementi Yaksho x y displaystyle x leqslant y i c 0 displaystyle c geqslant 0 to c x c y displaystyle cx leqslant cy Harakteristika uporyadkovanogo polya zavzhdi dorivnyuye nulyu Tomu skinchenne pole ne mozhe buti vporyadkovanim Pole dopuskaye vporyadkuvannya todi i tilki todi koli 1 displaystyle 1 ne mozhe buti predstavlena yak suma kvadrativ elementiv polya Polya sho zadovolnyayut cyu vlastivist nazivayutsya formalno dijsnimi polyami Zokrema cya vlastivist pokazuye sho pole kompleksnih chisel ne mozhe buti vporyadkovanim Najmenshim vporyadkovanim polem ye pole racionalnih chisel yake mozhe buti vporyadkovano tilki odnim sposobom Tobto izomorfne jomu racionalne pole mistitsya yak pidpole v bud yakomu inshomu vporyadkovanomu poli Yaksho u poli ne isnuye elementa bilshogo nizh vsi elementi racionalnogo polya pole nazivayetsya arhimedovim Pidpolya i rozshirennya polivPidpole vporyadkovanogo polya uspadkovuye batkivskij poryadok i otzhe tezh ye vporyadkovanim polem Rozshirennya E vporyadkovanogo polya k nazivayetsya vporyadkovanim yaksho E vporyadkovane pole dlya yakogo k ye vporyadkovanim pidpolem Cya vlastivist maye misce v tomu i tilki v tomu vipadku koli 1 ne mozhe buti podana v viglyadi sumi elementiv vidu l x 2 displaystyle lambda x 2 de l k x E 0 l displaystyle lambda in k x in E 0 leqslant lambda Vporyadkovane pole nazivayetsya dijsno zamknutim yaksho dlya nogo ne isnuye vporyadkovanih rozshiren sho ne rivni samomu polyu Poryadok dijsno zamknutogo polya zavzhdi ye yedinim Ekvivalentnimi ye nastupni vlastivosti vporyadkovanogo polya k pole k ye dijsno zamknutim rozshirennya k i de i2 1 ye algebrayichno zamknutim kozhen dodatnij element z k ye kvadratom i kozhen mnogochlen neparnogo stepenya nad k maye korin u k Kozhne formalno dijsne pole maye dijsno zamknute vporyadkovane algebrayichne rozshirennya Yaksho k vporyadkovane pole to mozhna dati tradicijne viznachennya fundamentalnoyi poslidovnosti Sukupnist fundamentalnih poslidovnostej pri nalezhnomu ototozhnenni i viznachenni operacij peretvoryuyetsya na vporyadkovane rozshirennya polya k Yaksho k arhimedove pole to ce rozshirennya ye izomorfnim polyu dijsnih chisel PrikladiRacionalni chisla Dijsni chisla Dijsni algebrayichni chisla Pole dijsnih racionalnih funkcij p x q x displaystyle frac p x q x de p x q x displaystyle p x q x mnogochlen i q x 0 displaystyle q x neq 0 Vporyadkuyemo jogo nastupnim chinom Dijsni konstanti yak mnogochleni nulovogo poryadku vporyadkovani tradicijnim chinom Nehaj p x p 0 x n displaystyle p x p 0 x n dots q x q 0 x m displaystyle q x q 0 x m dots Budemo vvazhati sho drib p x q x gt 0 displaystyle frac p x q x gt 0 yaksho p 0 q 0 gt 0 displaystyle frac p 0 q 0 gt 0 Z viznachennya viplivaye sho mnogochlen p x x displaystyle p x x ye bilshim nizh bud yaka konstanta tobto aksioma Arhimeda dlya cogo polya ne vikonuyetsya pole ye arhimedovim Giperdijsni chisla she odin priklad nearhimedovogo polya Div takozhAksioma Arhimeda Vporyadkovana grupaDzherelaBurbaki N Algebra ch 2 Mnogochleny i polya Uporyadochennye gruppy M Nauka 1965 S 300 Elementi matematiki ros Van der Varden B L Algebra Moskva Nauka 1975 623 s ISBN 5 8114 0552 9 ros Leng S Algebra Moskva Mir 1968 564 s ISBN 5458320840 ros Fuks L Chastichno uporyadochennye algebraicheskie sistemy per s angl M 1965