Ядро Феєра

В математиці ядро Феєра використовується для знаходження суми за Чезаро рядів Фур'є або перетворень Фур'є.

Графіки деяких ядер Феєра. На графіках використано іншу індексацію, ніж у статті і тому ${\displaystyle F_{i}=\Phi _{i-1}}$

Означення

Ядро Феєра задається як:

${\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x),}$

де

${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=\left(1+2\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)\right)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{\sin(x/2)}}}$ — ядро Діріхле.

Ядра Феєра також можна записати через тригонометричні функції як:

${\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}{\frac {\sin ^{2}{\frac {n+1}{2}}x}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1}{n+1}}\left({\frac {1-\cos(n+1)x}{1-\cos x}}\right).}$

Для точок ${\displaystyle x=2\pi m,\ m\in \mathbb {Z} }$ значення функції Феєра ${\displaystyle \Phi _{n}}$ є рівним ${\displaystyle n+1}$, що є граничним значенням вказаних тригонометричних виразів у цих точках.

Назване на честь угорського математика Ліпота Феєра.

Доведення тригонометричної рівності

Ядро Діріхле рівне ${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {\sin \left(\left(n+1/2\right)x\right)}{\sin(x/2)}}={\frac {1}{\sin(x/2)}}{\mathcal {Im}}\left(e^{i\left(n+1/2\right)x}\right).}$

Тому

${\displaystyle (n+1)D_{n}(x)={\frac {1}{\sin(x/2)}}{\mathcal {Im}}\left(\sum _{k=0}^{n}e^{i\left(n+1/2\right)x}\right).}$

Із використанням суми геометричної прогресії звідси:

${\displaystyle (n+1)D_{n}(x)={\frac {1}{\sin(x/2)}}{\mathcal {Im}}\left(e^{ix/2}{\frac {e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix}-1}}\right)={\frac {1}{\sin(x/2)}}{\mathcal {Im}}\left({\frac {e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}}\right).}$

Далі для уявної частини у попередніх формулах:

${\displaystyle {\mathcal {Im}}\left({\frac {e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}}\right)={\frac {1}{2i}}\left({\frac {e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}}-{\frac {e^{-i(n+1)x}-1}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {1}{2i}}{\frac {e^{i(n+1)x}+e^{-i(n+1)x}-2}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}}\right).}$

Із властивостей полярного запису комплексних чисел:

${\displaystyle e^{i(n+1)x}+e^{-i(n+1)x}-2=2\cos(n+1)x-2,}$

${\displaystyle e^{ix/2}-e^{-ix/2}=2i\sin(x/2),}$

Підставляючи ці рівності у попередні формули:

${\displaystyle (n+1)D_{n}(x)={\frac {1}{2i}}{\frac {1}{\sin(x/2)}}{\frac {2\cos(n+1)x-2}{2i\sin(x/2)}}={\frac {1-\cos(n+1)x}{2(\sin(x/2))^{2}}}={\frac {1-\cos(n+1)x}{1-\cos x}}={\frac {\sin ^{2}{\frac {n+1}{2}}x}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}.}$

Властивості

• ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ — ${\displaystyle 2\pi }$-періодична, парна функція і ${\displaystyle 0\leqslant \Phi _{n}(x)\leqslant n+1}$ для всіх ${\displaystyle x.}$

Парність, ${\displaystyle 2\pi }$-періодичність і додатність функції відразу випливає із тригонометричних виразів для функції. Із рівності для ядра Діріхле ${\displaystyle D_{k}(x)=1+2\sum _{j=1}^{k}\cos(jx)}$ випливає, що ${\displaystyle D_{k}(x)\leqslant 2k+1}$ і тому ${\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x)\leqslant {\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}2k+1={\frac {(n+1)^{2}}{n+1}}=n+1.}$

Рівність досягається лише у точках для яких всі ${\displaystyle \cos(jx)=1}$ тобто у точках ${\displaystyle x=2\pi m.}$

• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :~\int \limits _{-\pi }^{\pi }\Phi _{n}(u)du=2{\pi }}$

Ядро Феєра є рівним ${\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\sum _{m=-k}^{k}e^{imx}.}$ Проінтегрувавши цей вираз одержуємо

${\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\int _{-\pi }^{\pi }\left(\sum _{k=0}^{n}\sum _{m=-k}^{k}e^{imx}\right)dx={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\sum _{m=-k}^{k}\left(\int _{-\pi }^{\pi }e^{imx}dx\right).}$

Якщо ${\displaystyle m\neq 0,}$ то

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{imx}dx=\int _{-\pi }^{0}e^{imx}dx+\int _{0}^{\pi }e^{imx}dx=\int _{0}^{\pi }-e^{imx}dx+\int _{0}^{\pi }e^{imx}dx=0.}$

Якщо ${\displaystyle m=0,}$ то ${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }e^{i0x}dx=\int _{-\pi }^{\pi }1dx=2\pi .}$

Тому ${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\Phi _{n}(x)dx={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}2\pi =2\pi .}$

• Для будь-якого фіксованого ${\displaystyle 0<\delta \leqslant \pi }$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ також ${\displaystyle \int \limits _{\delta }^{\pi }\Phi _{n}(x)dx\rightarrow 0,\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\Phi _{n}(x)dx\rightarrow 0.}$

Із тригонометричного запису ядра Феєра через квадрати синусів для ${\displaystyle \delta \leqslant x\leqslant \pi }$ можна одержати обмеження:

${\displaystyle \Phi _{n}(x)dx\leqslant {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{(\sin x/2)^{2}}}\leqslant {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{(\sin \delta /2)^{2}}}.}$

Звідси

${\displaystyle \int \limits _{\delta }^{\pi }\Phi _{n}(x)dx\leqslant {\frac {1}{n+1}}\int \limits _{\delta }^{\pi }{\frac {1}{(\sin \delta /2)^{2}}}dx={\frac {1}{n+1}}{\frac {\pi -\delta }{(\sin \delta /2)^{2}}}.}$

Очевидно цей вираз прямує до 0 при ${\displaystyle n\rightarrow \infty .}$ Інша границя доводиться аналогічно.

Співвідношення із рядом Фур'є

Нехай ${\displaystyle f(x)}$ — інтегровна на ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ і ${\displaystyle 2\pi }$-періодична функція, ${\displaystyle S_{k}(x)}$ — часткові суми ряда Фур'є цієї функції, а ${\displaystyle \sigma _{n}(x)}$ — середнє арифметичне цих часткових сум, тобто ${\displaystyle \sigma _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=0}^{n}{S_{k}(x)}}$. Тоді ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,~\forall n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sigma _{n}(f;x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x-u)\Phi _{n}(u)du=\int \limits _{0}^{\pi }(f(x-u)+f(x+u))\Phi _{n}(u)du.}$

Згідно теореми Феєра, якщо додатково ${\displaystyle f(x)}$ є неперервною функцією, то ${\displaystyle \sigma _{n}(x)}$ рівномірно збігається до ${\displaystyle f(x)}$.

Ядро Феєра для інтеграла Фур'є

Ядро Феєра для інтеграла Фур'є визначається як:

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {2}{\pi n}}{\frac {\sin ^{2}{\frac {n}{2}}x}{x^{2}}}}$

Властивості ядра Феєра для інтеграла Фур'є

• ${\displaystyle F_{n}(x)\geqslant 0}$;
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{n}(x)dx=1}$
• Для будь-якого фіксованого ${\displaystyle \delta >0}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ виконується ${\displaystyle \int _{|x|\geqslant \delta }F_{n}(x)dx\rightarrow 0}$

Див. також

• Ряд Фур'є
• Список тригонометричних тотожностей
• Теорема Феєра
• Ядро Діріхле

Посилання

William Wu. Fourier Series and Fejer’s Theorem