Ядро Діріхле 2 π displaystyle 2 pi періодична функція що задається формулою D n x k n n e i k x 2 1 2 k 1 n cos k x sin

Ядро Діріхле

Ядро Діріхле — $2\pi$ -періодична функція, що задається формулою:

D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}{\frac {e^{ikx}}{2}}={\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{2\sin(x/2)}}.

Функція є ядром, згортка з яким дає часткову суму тригонометричного ряда Фур'є. Це дозволяє аналітично оцінювати співвідношення між початковою функцією і її наближеннями в просторі $L_{2}[-\pi ,\pi ]$ .

Доведення тригонометричної тотожності

За допомогою формули суми синусів

Нехай є сума косинусів: ${\frac {1}{2}}+\cos x+\cos(2x)+...+\cos(nx).$

Помножимо кожен доданок на $2\sin \left({\frac {x}{2}}\right)$ і перетворимо одержані доданки за допомогою стандартної тригонометричної формули $2\sin \alpha \cos \beta =\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ):$

2\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\left({\frac {1}{2}}+\cos x+\cos(2x)+...+\cos(nx)\right)=\sin {\frac {x}{2}}-\sin {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {3x}{2}}-\sin {\frac {3x}{2}}+...+\sin(n+{\frac {1}{2}})x=\sin \left(n+{\frac {1}{2}}\right)x.

Необхідна рівність одержується діленням двох сторін на $2\sin \left({\frac {x}{2}}\right).$

За допомогою суми геометричної прогресії

Сума скінченної геометричної прогресії є рівною

\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.

Як наслідок, зокрема:

\sum _{k=-n}^{n}r^{k}=r^{-n}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}.

Якщо домножити чисельник і знаменник на $r^{-1/2}$ , то одержується рівність:

{\frac {r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}}\cdot {\frac {1-r^{2n+1}}{1-r}}={\frac {r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}}.

Для одержання необхідної тотожності у попередньому виразі потрібно взяти $r=e^{ix}.$ Тоді:

\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}}}={\frac {-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}}={\frac {\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}}.

Співвідношення з рядом Фур'є

Нехай $f(x)$ — інтегровна на $[-\pi ,\pi ]$ і $2\pi$ -періодична, тоді $\forall x\in \mathbb {R} ,~\forall n\in \mathbb {N}$ для часткової суми ряду Фур'є виконується рівність:

S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u)D_{n}(u)du

Ця формула є однією із найважливіших в теорії рядів Фур'є.

Доведення

Розглянемо n-ну часткову суму ряду Фур'є:

S_{n}(f;x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx))\qquad (1)

S_{n}(f;x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)dt+\sum _{k=1}^{n}\left[\left({\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos(kt)dt\right)\cos(kx)+\left({\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\sin(kt)dt\right)\sin(kx)\right]\qquad (2)

S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\left[{\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(\cos(kt)\cos(kx)+\sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt\qquad (3)

Застосовуючи формулу косинуса різниці до виразу під знаком суми, одержуємо:

S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\left[{\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(\cos(k(t-x)\right)\right]dt\qquad (4)

Застосовуючи це перетворення до формули (4), одержуємо:

S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})(t-x)}{2\sin {\frac {t-x}{2}}}}dt\qquad (5)

Після заміни змінної $u=t-x$

S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi -x}^{\pi -x}f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du\qquad (6)

Властивості ядра Діріхле

$D_{n}(x)$ — функція $2\pi$ -періодична і парна.
$\forall n\in \mathbb {N} ~\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(u)du={\pi }$

Примітки

Dirichlet kernel.

Див. також

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Yadro Dirihle 2 p displaystyle 2 pi periodichna funkciya sho zadayetsya formuloyu D n x k n n e i k x 2 1 2 k 1 n cos k x sin n 1 2 x 2 sin x 2 displaystyle D n x sum k n n frac e ikx 2 frac 1 2 sum k 1 n cos kx frac sin left left n frac 1 2 right x right 2 sin x 2 Funkciya ye yadrom zgortka z yakim daye chastkovu sumu trigonometrichnogo ryada Fur ye Ce dozvolyaye analitichno ocinyuvati spivvidnoshennya mizh pochatkovoyu funkciyeyu i yiyi nablizhennyami v prostori L 2 p p displaystyle L 2 pi pi Dovedennya trigonometrichnoyi totozhnostiZa dopomogoyu formuli sumi sinusiv Nehaj ye suma kosinusiv 1 2 cos x cos 2 x cos n x displaystyle frac 1 2 cos x cos 2x cos nx Pomnozhimo kozhen dodanok na 2 sin x 2 displaystyle 2 sin left frac x 2 right i peretvorimo oderzhani dodanki za dopomogoyu standartnoyi trigonometrichnoyi formuli 2 sin a cos b sin a b sin a b displaystyle 2 sin alpha cos beta sin alpha beta sin alpha beta 2 sin x 2 1 2 cos x cos 2 x cos n x sin x 2 sin x 2 sin 3 x 2 sin 3 x 2 sin n 1 2 x sin n 1 2 x displaystyle 2 sin left frac x 2 right left frac 1 2 cos x cos 2x cos nx right sin frac x 2 sin frac x 2 sin frac 3x 2 sin frac 3x 2 sin n frac 1 2 x sin left n frac 1 2 right x Neobhidna rivnist oderzhuyetsya dilennyam dvoh storin na 2 sin x 2 displaystyle 2 sin left frac x 2 right Za dopomogoyu sumi geometrichnoyi progresiyi Suma skinchennoyi geometrichnoyi progresiyi ye rivnoyu k 0 n a r k a 1 r n 1 1 r displaystyle sum k 0 n ar k a frac 1 r n 1 1 r Yak naslidok zokrema k n n r k r n 1 r 2 n 1 1 r displaystyle sum k n n r k r n cdot frac 1 r 2n 1 1 r Yaksho domnozhiti chiselnik i znamennik na r 1 2 displaystyle r 1 2 to oderzhuyetsya rivnist r n 1 2 r 1 2 1 r 2 n 1 1 r r n 1 2 r n 1 2 r 1 2 r 1 2 displaystyle frac r n 1 2 r 1 2 cdot frac 1 r 2n 1 1 r frac r n 1 2 r n 1 2 r 1 2 r 1 2 Dlya oderzhannya neobhidnoyi totozhnosti u poperednomu virazi potribno vzyati r e i x displaystyle r e ix Todi k n n e i k x e n 1 2 i x e n 1 2 i x e i x 2 e i x 2 2 i sin n 1 2 x 2 i sin x 2 sin n 1 2 x sin x 2 displaystyle sum k n n e ikx frac e n 1 2 ix e n 1 2 ix e ix 2 e ix 2 frac 2i sin n 1 2 x 2i sin x 2 frac sin n 1 2 x sin x 2 Spivvidnoshennya z ryadom Fur yeNehaj f x displaystyle f x integrovna na p p displaystyle pi pi i 2 p displaystyle 2 pi periodichna todi x R n N displaystyle forall x in mathbb R forall n in mathbb N dlya chastkovoyi sumi ryadu Fur ye vikonuyetsya rivnist S n f x 1 p p p f x u sin n 1 2 u 2 sin u 2 d u 1 p p p f x u D n u d u displaystyle S n f x frac 1 pi int limits pi pi f x u frac sin n frac 1 2 u 2 sin frac u 2 du frac 1 pi int limits pi pi f x u D n u du Cya formula ye odniyeyu iz najvazhlivishih v teoriyi ryadiv Fur ye Dovedennya Rozglyanemo n nu chastkovu sumu ryadu Fur ye S n f x a 0 2 k 1 n a k cos k x b k sin k x 1 displaystyle S n f x frac a 0 2 sum limits k 1 n a k cos kx b k sin kx qquad 1 S n f x 1 2 p p p f t d t k 1 n 1 p p p f t cos k t d t cos k x 1 p p p f t sin k t d t sin k x 2 displaystyle S n f x frac 1 2 pi int limits pi pi f t dt sum k 1 n left left frac 1 pi int limits pi pi f t cos kt dt right cos kx left frac 1 pi int limits pi pi f t sin kt dt right sin kx right qquad 2 S n f x 1 p p p f t 1 2 k 1 n cos k t cos k x sin k t sin k x d t 3 displaystyle S n f x frac 1 pi int limits pi pi f t left frac 1 2 sum k 1 n left cos kt cos kx sin kt sin kx right right dt qquad 3 Zastosovuyuchi formulu kosinusa riznici do virazu pid znakom sumi oderzhuyemo S n f x 1 p p p f t 1 2 k 1 n cos k t x d t 4 displaystyle S n f x frac 1 pi int limits pi pi f t left frac 1 2 sum k 1 n left cos k t x right right dt qquad 4 Zastosovuyuchi ce peretvorennya do formuli 4 oderzhuyemo S n f x 1 p p p f t sin n 1 2 t x 2 sin t x 2 d t 5 displaystyle S n f x frac 1 pi int limits pi pi f t frac sin n frac 1 2 t x 2 sin frac t x 2 dt qquad 5 Pislya zamini zminnoyi u t x displaystyle u t x S n f x 1 p p x p x f x u sin n 1 2 u 2 sin u 2 d u 1 p p p f x u sin n 1 2 u 2 sin u 2 d u 6 displaystyle S n f x frac 1 pi int limits pi x pi x f x u frac sin n frac 1 2 u 2 sin frac u 2 du frac 1 pi int limits pi pi f x u frac sin n frac 1 2 u 2 sin frac u 2 du qquad 6 Vlastivosti yadra DirihleD n x displaystyle D n x funkciya 2 p displaystyle 2 pi periodichna i parna n N p p D n u d u p displaystyle forall n in mathbb N int limits pi pi D n u du pi PrimitkiDirichlet kernel Div takozhRyad Fur ye Spisok trigonometrichnih totozhnostej Yadro Feyera

Дата публікації: Серпень 13, 2024, 23:06 pm