В теорії чисел гіпотеза Сінгмастера, названа на честь Девіда Сінгмастера, стверджує, що існує кінцева верхня межа кількості однакових чисел (крім одиниці) в трикутнику Паскаля. Зрозуміло, що одиниця міститься в трикутнику Паскаля нескінченне число разів, оскільки будь-яке інше число x може зустрітися тільки в перших x+1 рядках трикутника. Пол Ердеш вважав, що гіпотеза Сінгмастера вірна, але припускав, що довести це буде важко.
Нехай N (a) — скільки разів число a>1 з'являється в трикутнику Паскаля. Тоді в O-нотації, гіпотеза виглядає як:
Відомі результати
Сінгмастер показав:
Пізніше Еббот (Abbott), Ердеш, і Хансон (Hanson) (див. Посилання) поліпшили оцінку. Найкраща на сьогодні оцінка
отримана завдяки Даніелю Кейну (2007). Аббот Ердеш і Хансон зауважив, що умова гіпотези Крамера про відстань між послідовними простими числами
вірно для будь-якого .
Сінгмастер (1975) показав, що діофантове рівняння
має нескінченно багато рішень для двох змінних n, k. Звідси випливає, що мається нескінченно багато випадків входження чисел 6 і більше разів. Рішення задаються рівняннями
де Fn — n-те число Фібоначчі (згідно загальноприйнятому ).
Числові приклади
Згідно обчислень,
- 2 з'являється тільки один раз; всі більші ніж 2 числа з'являються більше, ніж один раз
- 4 та усі непарні прості числа (3, 5, 7, 11, ...) з'являються рівно 2 рази;
- 6 з'являється 3 рази;
- Багато чисел з'являються 4 рази.
- Кожне з наступних чисел з'являється 6 разів:
- Найменше число, що з'являється 8 разів — це 3003, яке є також першим членом нескінченного сімейства чисел Сінгмастера, що зустрічаються не менше 6 разів:
Наступне число в нескінченному сімействі Сінгмастера, і наступне найменше відоме число, що з'являється шість і більше разів — це 61218182743304701891431482520. Невідомо, чи з'являються які-небудь числа більш ніж вісім разів. Існує гіпотеза, що максимальне число входжень не більше 8, але Сінгмастер вважає, що воно повинно бути 10 або 12.
Чи з'являються числа точно п'ять або сім разів?
В Енциклопедії послідовностей цілих чисел вказано, що невідомо, чи має розв'язок рівняння N (a) = 5. Невідомо також, чи з'являється якесь число сім раз.
Див. також
Література
- Д. Сінгмастер (1971), Дослідження проблеми: Як часто цілі числа виступають в ролі біноміального коефіцієнта?, American Mathematical Monthly, 78 (4): 385—386, JSTOR 2316907, MR 1536288.
- Д. Сінгмастер (1975), (PDF), [en], 13 (4): 295—298, MR 0412095, архів оригіналу (PDF) за 11 вересня 2015, процитовано 29 жовтня 2014.
- Г. Л. Еббот (1974), Скільки разів цілі числа виступають в ролі біноміального коефіцієнта?, American Mathematical Monthly, 81 (3): 256—261, JSTOR 2319526, MR 0335283.
- [en] (2007), (PDF), , 7: #A53, MR 2373115, архів оригіналу (PDF) за 24 вересня 2015, процитовано 29 жовтня 2014.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V teoriyi chisel gipoteza Singmastera nazvana na chest Devida Singmastera stverdzhuye sho isnuye kinceva verhnya mezha kilkosti odnakovih chisel krim odinici v trikutniku Paskalya Zrozumilo sho odinicya mistitsya v trikutniku Paskalya neskinchenne chislo raziv oskilki bud yake inshe chislo x mozhe zustritisya tilki v pershih x 1 ryadkah trikutnika Pol Erdesh vvazhav sho gipoteza Singmastera virna ale pripuskav sho dovesti ce bude vazhko Nehaj N a skilki raziv chislo a gt 1 z yavlyayetsya v trikutniku Paskalya Todi v O notaciyi gipoteza viglyadaye yak N a O 1 displaystyle N a O 1 Vidomi rezultatiSingmaster pokazav N a O log a displaystyle N a O log a Piznishe Ebbot Abbott Erdesh i Hanson Hanson div Posilannya polipshili ocinku Najkrasha na sogodni ocinka N a O log a log log log a log log a 3 displaystyle N a O left frac log a log log log a log log a 3 right otrimana zavdyaki Danielyu Kejnu 2007 Abbot Erdesh i Hanson zauvazhiv sho umova gipotezi Kramera pro vidstan mizh poslidovnimi prostimi chislami N a O log a 2 3 e displaystyle N a O left log a 2 3 varepsilon right virno dlya bud yakogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 Singmaster 1975 pokazav sho diofantove rivnyannya n 1 k 1 n k 2 displaystyle n 1 choose k 1 n choose k 2 maye neskinchenno bagato rishen dlya dvoh zminnih n k Zvidsi viplivaye sho mayetsya neskinchenno bagato vipadkiv vhodzhennya chisel 6 i bilshe raziv Rishennya zadayutsya rivnyannyami n F 2 i 2 F 2 i 3 1 displaystyle n F 2i 2 F 2i 3 1 k F 2 i F 2 i 3 1 displaystyle k F 2i F 2i 3 1 de Fn n te chislo Fibonachchi zgidno zagalnoprijnyatomu F 1 F 2 1 displaystyle F 1 F 2 1 Chislovi prikladiZgidno obchislen 2 z yavlyayetsya tilki odin raz vsi bilshi nizh 2 chisla z yavlyayutsya bilshe nizh odin raz 4 ta usi neparni prosti chisla 3 5 7 11 z yavlyayutsya rivno 2 razi 6 z yavlyayetsya 3 razi Bagato chisel z yavlyayutsya 4 razi Kozhne z nastupnih chisel z yavlyayetsya 6 raziv 120 1 16 2 10 3 displaystyle 120 choose 1 16 choose 2 10 choose 3 210 1 21 2 10 4 displaystyle 210 choose 1 21 choose 2 10 choose 4 1540 1 56 2 22 3 displaystyle 1540 choose 1 56 choose 2 22 choose 3 7140 1 120 2 36 3 displaystyle 7140 choose 1 120 choose 2 36 choose 3 11628 1 153 2 19 5 displaystyle 11628 choose 1 153 choose 2 19 choose 5 24310 1 221 2 17 8 displaystyle 24310 choose 1 221 choose 2 17 choose 8 Najmenshe chislo sho z yavlyayetsya 8 raziv ce 3003 yake ye takozh pershim chlenom neskinchennogo simejstva chisel Singmastera sho zustrichayutsya ne menshe 6 raziv 3003 1 78 2 15 5 14 6 displaystyle 3003 choose 1 78 choose 2 15 choose 5 14 choose 6 Nastupne chislo v neskinchennomu simejstvi Singmastera i nastupne najmenshe vidome chislo sho z yavlyayetsya shist i bilshe raziv ce 61218182743304701891431482520 Nevidomo chi z yavlyayutsya yaki nebud chisla bilsh nizh visim raziv Isnuye gipoteza sho maksimalne chislo vhodzhen ne bilshe 8 ale Singmaster vvazhaye sho vono povinno buti 10 abo 12 Chi z yavlyayutsya chisla tochno p yat abo sim raziv V Enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel vkazano sho nevidomo chi maye rozv yazok rivnyannya N a 5 Nevidomo takozh chi z yavlyayetsya yakes chislo sim raz Div takozhBinomialnij koeficiyentLiteraturaD Singmaster 1971 Doslidzhennya problemi Yak chasto cili chisla vistupayut v roli binomialnogo koeficiyenta American Mathematical Monthly 78 4 385 386 JSTOR 2316907 MR 1536288 D Singmaster 1975 PDF en 13 4 295 298 MR 0412095 arhiv originalu PDF za 11 veresnya 2015 procitovano 29 zhovtnya 2014 G L Ebbot 1974 Skilki raziv cili chisla vistupayut v roli binomialnogo koeficiyenta American Mathematical Monthly 81 3 256 261 JSTOR 2319526 MR 0335283 en 2007 PDF 7 A53 MR 2373115 arhiv originalu PDF za 24 veresnya 2015 procitovano 29 zhovtnya 2014