Гіпотеза Крамера

Гіпотеза Крамера — теоретико-числова гіпотеза, сформульована шведським математиком Крамером в 1936 році, яка стверджує, що

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O(\ln ^{2}p_{n}),\ }$

де ${\displaystyle p_{n}}$ означає n-е просте число, а O — це O велике. Коротко кажучи, це означає, що прогалини між послідовними простими завжди маленькі. За гіпотезою, всі прості числа повинні відповідати межі

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=1.}$

Ця гіпотеза поки що не доведена і не спростована.

Евристичне обґрунтування

Гіпотеза Крамера ґрунтується на ймовірнісній моделі (істотно евристичній) розподілу простих чисел, в якій передбачається, що ймовірність того, що натуральне число x є простим, дорівнює приблизно ${\displaystyle {\frac {1}{\ln x}}}$. Ця модель відома як Модель простих Крамера. Крамер довів у своїй моделі, що згадана гіпотеза істинна з імовірністю 1.

Доведені результати про прогалини між простими числами

Крамер також дав умовний доказ слабшого твердження про те, що

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\ln p_{n})}$

припускаючи істинною гіпотезу Рімана.

З іншого боку, E. Westzynthius довів в 1931 році, що величина пробілів між простими більша, ніж логарифмічна. Тобто,

${\displaystyle \limsup _{n\to +\infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln p_{n}}}=\infty .}$

Гіпотеза Крамера-Гренвіля

Функція прогалин між простими числами

^[en] запропонував гіпотезу про асимптотичну рівність для найбільших прогалин між простими, дещо більш сильну, ніж гіпотеза Крамера.

У ймовірнісній моделі,

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln ^{2}p_{n}}}=c,}$ де ${\displaystyle c=1.}$

Але константа ${\displaystyle c}$ можливо не така, як для простих, за ^[en]. Ендрю Гренвіль в 1995 році стверджував, що константа ${\displaystyle c=2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots .}$, де ${\displaystyle \gamma }$ — Стала Ейлера—Маскероні.

В праці М. Вольф запропонував формулу для максимальної відстані ${\displaystyle G(x)}$ між подальшими прямими числами меншими за ${\displaystyle x}$, що виражена через функцію розподілу простих чисел ${\displaystyle \pi (x)}$:

${\displaystyle G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\ln(\pi (x))-\ln(x)+c_{0}),}$

де ${\displaystyle c_{0}=\ln(C_{2})=0.2778769...}$, а ${\displaystyle C_{2}=1.3203236...}$ є константа простих-близнюків.

Томас Найслі обчислив багато найбільших прогалин між простими. Він перевірив якість гіпотези Крамера, вимірявши частку R логарифма простих до квадратного кореня розміру прогалини між простими; він писав, «Для найбільших відомих прогалин, R залишається рівним приблизно 1,13», що показує, як мінімум в діапазоні його обчислень, що гренвіллево поліпшення гіпотези Крамера бачиться як найкраще наближення для даних.

Примітки

1. Cramér, Harald (1936), (PDF), , 2: 23—46, архів оригіналу (PDF) за 23 липня 2018, процитовано 31 жовтня 2015.
2. Westzynthius, E. (1931), Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind, Commentationes Physico-Mathematicae Helsingfors, 5: 1—37.
3. Shanks, Daniel (1964), On Maximal Gaps between Successive Primes, Mathematics of Computation, American Mathematical Society, 18 (88): 646—651, doi:10.2307/2002951, JSTOR 2002951.
4. Granville, A. (1995), (PDF), Scandinavian Actuarial Journal, 1: 12—28, архів оригіналу (PDF) за 23 вересня 2015, процитовано 31 жовтня 2015.
5. Wolf, Marek (2014), Nearest-neighbor-spacing distribution of prime numbers and quantum chaos, Phys. Rev. E, 89: 022922
6. Nicely, Thomas R. (1999), , Mathematics of Computation, 68 (227): 1311—1315, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0, MR 1627813, архів оригіналу за 30 грудня 2014, процитовано 31 жовтня 2015.

Див. також

• Теорема про розподіл простих чисел
• Проміжки між простими числами

Посилання

• Weisstein, Eric W. Cramér Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Cramér-Granville Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.