Метод стаціонарної фази

Метод стаціонарної фази (наближення стаціонарної фази) — основний методом асимптотичного аналізу у математиці та математичній фізиці, що застосовується до інтегралів, підінтегральна функція яких осицилює, тобто інтегралів на кшталт:

${\displaystyle I(k)=\int g(x)e^{ikf(x)}\,dx}$

що беруться по n-вимірному просторі Rⁿ де i — уявна одиниця. Тут f і g — дійснозначні гладкі функції. Роль g — забезпечення збіжності; тобто , g — . Велике дійсне число k розглядається в границі k → ∞.

Основи

Основна ідея методу стаціонарної фази полягає в скорочуванні синусоїд з у швидкозмінною фазою. Якщо багато синусоїд мають однакові фази, то вони додаються, підсилюючи одна одну. Якщо, проте, ці ж синусоїди мають фази, які швидко змінюються частотою, вони будуть додаватись, погашуючи одна одну.

Приклад

Розглянемо функцію

${\displaystyle f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }F(\omega )e^{i(kx-\omega t)}d\omega }$

Фазовий доданок в цій функції, ${\displaystyle \phi =kx-\omega t}$ є "стаціонарним" коли

${\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}\left(k\left(\omega \right)x-\omega t\right)\approx 0}$

або еквівалентно,

${\displaystyle {\frac {d\omega }{dk}}\approx {\frac {x}{t}}}$

Розв'язок цього рівняння дає домінуючу частоту ${\displaystyle \omega _{dom}(x,t)}$ для даних ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle t}$. Якщо ми розкладемо ${\displaystyle \phi }$ в ряд Тейлора поблизу ${\displaystyle \omega _{dom}}$ і знехтуємо доданками порядку вищого ніж ${\displaystyle (\omega -\omega _{dom})^{2}}$, то

${\displaystyle \phi \sim k(\omega _{dom})x-\omega _{dom}t+{\frac {x}{2}}{\frac {d^{2}k}{d\omega ^{2}}}(\omega -\omega _{dom})^{2}}$

Коли ${\displaystyle x}$ велике, навіть мала різниця ${\displaystyle \omega -\omega _{dom}}$ згенерує швидку осциляцію в інтегралі, приводячи до скорочення. Таким чином, ми можемо розширити границі інтегрування поза границі розкладу в ряд Тейлора. Якщо ми подвоїмо вклад дійсної частини з додатних частот перетворення щоб врахувати від'ємні частоти:

${\displaystyle f(x,t)={\frac {1}{2\pi }}2{\mbox{Re}}\left\{\exp \left[i\left[k(\omega _{dom})x-\omega _{dom}t\right]\right]\left|F(\omega _{dom})\right|\int _{\mathbb {R} }\exp \left[i{\frac {x}{2}}{\frac {d^{2}k}{d\omega ^{2}}}(\omega -\omega _{dom})^{2}\right]d\omega \right\}}$

Проінтегрувавши, маємо

${\displaystyle f(x,t)\sim {\frac {\left|F(\omega _{dom})\right|}{\pi }}{\sqrt {\frac {2\pi }{x\left|{\frac {d^{2}k}{d\omega ^{2}}}\right|}}}\cos \left[k(\omega _{dom})x-\omega _{dom}t\pm {\frac {\pi }{4}}\right]}$

Джерела

• Прилепко А. И., Калиниченко Д. Ф. Асимптотические методы и специальные функции. — М. : МИФИ, 1980. — 107 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М. : Физматлит, 1999. — 319 с. — .
• Федорюк М. В. Метод перевала. — М. : Наука, 1977. — 366 с.

Див. також