Спліт-комплексні числа

Подвійні числа (спліт-комплексні числа, дійсні тессаріни, комплексні числа гіперболічного типу) — це гіперкомплексні числа виду ${\displaystyle \ a+bj,}$ де ${\displaystyle \ a,b}$ — дійсні числа; ${\displaystyle \ j}$  — уявна одиниця, така що${\displaystyle \ j^{2}=+1.}$

Подвійні числа — одна з двовимірних гіперкомплексних систем поряд із комплексними й дуальними числами.

Діагональний базис

Унаслідок наявності уявної одиниці ${\displaystyle \ j^{2}=+1}$ існують два ортогональні ідемпотентні елементи:

${\displaystyle e={1-j \over 2},\quad {\bar {e}}={1+j \over 2}\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{cases}ee=e\\{\bar {e}}{\bar {e}}={\bar {e}}\\e{\bar {e}}=0\end{cases}},}$

які можна використати як альтернативний базис. Подвійні числа переводяться в діагональний базис так:

${\displaystyle \ x+yj=(x-y)e+(x+y){\bar {e}}=ae+b{\bar {e}}}$

Позначатимемо число в діагональному базисі як (a,b), тоді справедливі такі формули:

• ${\displaystyle {\overline {(a,b)}}=(b,a),}$
• ${\displaystyle \ (a_{1},b_{1})(a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2}),}$
• ${\displaystyle \lVert (a,b)\rVert =ab.}$

Очевидно, що подвійні числа ізоморфні прямій сумі двох полів дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ (додавання, множення й ділення обчислюються покомпонентно).

Див. також

• Тессаріни
• Бікомплексні числа
• Бікватерніони

Джерела

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)