Напівпростий лінійний оператор

Напівпростий лінійний оператор — лінійне перетворення ${\displaystyle A}$ векторного простору ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle K}$ для якого будь-який підпростір у ${\displaystyle V}$, що є інваріантним щодо ${\displaystyle A}$, має інваріантне пряме доповнення, тобто якщо ${\displaystyle S\subset V}$ — лінійний підпростір, для якого ${\displaystyle A(S)\subset S}$, то також існує підпростір ${\displaystyle T\subset V}$, такий що ${\displaystyle A(T)\subset T}$ і також ${\displaystyle V=S\oplus T.}$

Іншими словами, потрібно, щоб ${\displaystyle A}$ визначав на ${\displaystyle V}$ структуру напівпростого модуля над кільцем ${\displaystyle K[A]}$.

У скінченновимірному випадку матриця, що є матрицею напівпростого лінійного перетворення називається напівпростою матрицею.

Приклади

Прикладами напівпростих матриць і відповідно лінійних перетворень для скінченновимірних евклідових просторів є:

• Ортогональна матриця
• Симетрична матриця
• Кососиметрична матриця
• Будь-яка діагоналізовна матриця

Властивості

• Властивість напівпростоти лінійних перетворень зберігається при переході до інваріантного підпростору ${\displaystyle W\subset V}$ і до фактор-простору ${\displaystyle V/W}$.
• Для скінченновимірних просторів лінійне перетворення є напівпростим тоді і тільки тоді, коли його мінімальний многочлен не має кратних множників.
• У випадку простору над алгебрично замкнутим полем ${\displaystyle K}$ це еквівалентно тому, що лінійне перетворення є діагоналізовним.
• Попереднє твердження буде справедливим і у випадку, коли всі власні значення лінійного перетворення належатимуть полю (не обов'язково алгебрично замкнутому), над яким визначений векторний простір.
• Якщо поле ${\displaystyle K}$ є досконалим, то лінійне перетворення є напівпростим тоді і тільки тоді, коли воно є діагоналізовним у алгебричному замиканні поля.
• Якщо ${\displaystyle L}$ — розширення поля ${\displaystyle K}$ і ${\displaystyle A_{L}=A\otimes 1}$ — продовження відображення ${\displaystyle A}$ на простір ${\displaystyle V_{L}=V\otimes _{K}L}$, то з того що ${\displaystyle A_{L}}$ є напівпростим випливає що і ${\displaystyle A}$ є напівпростим. Якщо ${\displaystyle L}$ є сепарабельним над ${\displaystyle K}$, то справедливим є і обернене твердження. Ендоморфізм ${\displaystyle A}$ називається абсолютно напівпростим, якщо ${\displaystyle A_{L}}$ є напівпростим для будь-якого розширення ${\displaystyle L\supset K}$. Для цього необхідно і достатньо, щоб мінімальний многочлен не мав кратних коренів в алгебраїчному замиканні поля ${\displaystyle K}$, тобто щоб ендоморфізм ${\displaystyle A_{\bar {K}}}$ був діагоналізовним.

Див. також

• Діагоналізовна матриця
• Розклад Жордана — Шевальє

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), endomorphism Semi-simple endomorphism, Математична енциклопедія, , ISBN