Струмінь (математика)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Струмінь (значення).

Струмінь відображення ${\displaystyle f}$ на многовиді ${\displaystyle M}$ — це операція, що співставляє кожній точці ${\displaystyle x}$ із ${\displaystyle M}$ деякий поліном (обрізаний поліном Тейлора ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x}$). З точки зору теорії струменів ці поліноми розглядаються не як поліноміальні функції, а як абстрактні алгебричні багаточлени, що залежать від точки многовиду.

Два відображення ${\displaystyle f,{\tilde {f}}:\mathbb {R} \rightarrow M}$ мають однаковий ${\displaystyle k}$-струмінь у точці ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$ якщо ${\displaystyle f(x)={\tilde {f}}(x)}$ та якщо у будь-якій локальній карті у окілі точки ${\displaystyle f(x)}$ розклади у ряд Тейлора функцій ${\displaystyle f(x)}$ та ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)}$ збігаються до порядку ${\displaystyle k}$ включно. Клас еквівалентності, який визначається відображенням ${\displaystyle f}$, позначається ${\displaystyle (j^{k}f)(x).}$ Сукупність усіх ${\displaystyle k}$-струменів утворює многовид струменів ${\displaystyle J^{k}(M,\mathbb {R} )}$, де координата на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ й довільна локальна карта ${\displaystyle y^{\alpha }}$ на ${\displaystyle M}$ визначають деяку систему координат на ${\displaystyle J^{k}(M,\mathbb {R} ).}$

Многовидом 1-струменів ${\displaystyle J^{1}(B^{n},\mathbb {R} )}$ функцій на ${\displaystyle B^{n}}$ називається многовид ${\displaystyle M^{2n+1}=T^{*}B^{n}\times \mathbb {R} }$ із контактною 1-формою ${\displaystyle dz-p\,dq}$ (де ${\displaystyle p\,dq}$ — форма дії на фазовому просторі ${\displaystyle T^{*}B^{n},}$ a ${\displaystyle z}$ — координата). Наприклад, якщо ${\displaystyle B^{n}=S^{1}}$ є окружністю, то многовид ${\displaystyle J^{1}(B^{n},\mathbb {R} )}$ є дифеоморфним повноторію (внутрішності ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$ двохвимірного тору). На цьому многовиді визначені координати (${\displaystyle q(\mathrm {mod} \,\,2\pi ),p,z}$).Лежандровим підмноговидом ${\displaystyle {\mathfrak {M}}^{n}\subset M^{2n+1}}$ є підмноговид, на якому контактна 1-форма перетворюється на нуль. Наприклад, будь-якій функції ${\displaystyle g:B^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ відповідає лежандровий переріз ${\displaystyle {\mathfrak {M}}^{n}}$ розшарування ${\displaystyle J^{1}(B_{n},\mathbb {R} )\rightarrow B^{n}}$, задане формулами

${\displaystyle p={\frac {\partial g}{\partial q}},\quad \quad z=g(q).}$

Многовид ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ залежить лише від функції ${\displaystyle g,}$ а не від вибору локальної карти; ця формула зіставляє точці ${\displaystyle q\in B^{n}}$ кодотичний вектор ${\displaystyle dg}$ та число ${\displaystyle g(q).}$ Вкладений лежандровий підмноговид ${\displaystyle {\mathfrak {M}}^{n}\subset J^{1}(B^{n},\mathbb {R} )}$ є квазіфункцією на ${\displaystyle B^{n}}$ якщо він належить компоненті зв'язності нульового перерізу (${\displaystyle p=0,z=0}$) у просторі вкладених лежандрових підмноговидів многовиду 1-струменів функцій на ${\displaystyle B^{n}.}$ Проєкція квазіфункції з простору 1-струменів у фазовий простір (при натуральному відображенні забування значення функції) є точним лагранжевим підмноговидом у ${\displaystyle T^{*}B^{n}.}$ Цей підмноговид може виявитися не вкладеним, а лише зануреним у ${\displaystyle T^{*}B^{n}}$ (самопересічним). Усілякий точний лагренжевий підмноговид ${\displaystyle L^{n}}$, занурений до ${\displaystyle T^{*}B^{n},}$ отримується цим способом з деякого лежандрового многовиду ${\displaystyle {\mathfrak {M}}^{n}\in J^{1}(B^{n},\mathbb {R} )}$ (який є визначеним із точністю до зсувів осі ${\displaystyle z,}$ якщо ${\displaystyle L^{n}}$ є зв'язним). Однак, ${\displaystyle {\mathfrak {M}}^{n}}$ може бути лише зануреним (самопересічним у (2n+1)-вимірному многовиді струменів ${\displaystyle J^{1}(B^{n},\mathbb {R} )}$).

Теорема Чеканова

Нехай ${\displaystyle E=M\times W,{\mathfrak {M}}}$ — ${\displaystyle E}$-квазіфункція. Тоді число точок самоперетину проєкції ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ у ${\displaystyle T^{*}M}$ загального положення не менше, ніж ${\displaystyle {\frac {1}{2}}[\sum b_{i}(M)(\sum b_{i}(W))^{2}-\sum b_{i}({\mathfrak {M}})].}$

Квазіфункція на окружності ${\displaystyle B^{n}=S^{1}}$ має не менше двох квазікритичних точок. Проєкції усіх лежандрових вузлів із компоненти, яка містить ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ у ${\displaystyle T^{*}S^{1},}$ мають принаймні три точки самоперетину із врахуванням кратності. Достатньо у процесі гомотопії припустити один самоперетин, і можна отримати лежандровий многовид ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{1},}$ гомотопний у класі лежандрових вкладень многовиду ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{2},}$ у якого одна точка самоперетину проєкції у ${\displaystyle T^{*}S^{1}.}$

Струмені на еклідовому просторі

Аналітичне означення

Струмені і простори струменів можуть бути означені, використовуючи принципи математичного аналізу. Означення можна узагальнити на гладкі відображення між банаховими просторами, аналітичними функціями у дійсній або комплексній області, на ${\displaystyle p}$-адичний аналіз тощо.

Нехай ${\displaystyle X,Y}$ — гладкі многовиди. Гладкі відображення ${\displaystyle f,g:X\rightarrow Y}$ є ${\displaystyle p}$-еквівалентними у точці ${\displaystyle x\in X,}$ якщо ${\displaystyle f(x)=g(x),}$ та у цій точці частинні похідні до порядку ${\displaystyle p}$ включно є однаковими. Це визначення є інваріантним відносно вибору локальних координат як у ${\displaystyle X,}$ так й у ${\displaystyle Y,}$ тому воно визначає геометричний об'єкт — струмінь відображення. Конкретніше, струмінь порядку ${\displaystyle p}$, який задається відображенням ${\displaystyle f,}$ є класом еквівалентності відображень по відношенню ${\displaystyle j_{x}^{p}f.}$ Точка ${\displaystyle x}$ є початком струменя, а її образ ${\displaystyle f(x)}$ — кінцем струменя. Множина ${\displaystyle p}$-струменів, імерсійованих до ${\displaystyle Y}$ з початком ${\displaystyle x}$ та кінцем ${\displaystyle y}$ позначається ${\displaystyle J_{x,y}^{p}(X,Y).}$

Множина ${\displaystyle p}$-струменів утворює диференціальну групу порядку ${\displaystyle p}$ у точці ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{n}}$ усеможливих дифеоморфізмів окілів цієї точки, залишаючих її нерухомою. Таким чином, ${\displaystyle D_{n}^{p}}$ є групою із добутком, який визначається композицією струменів:

${\displaystyle j_{0}^{p}(g)\circ j_{0}^{p}(h){\overset {def}{=}}j_{0}^{p}(g\circ h).}$

Ідемпотент цієї групи є струменем тотожного відображення. Зворотним елементом до ${\displaystyle j_{0}^{p}(g)}$ є ${\displaystyle 0\in \mathbb {R} ^{n}}$-струмінь дифеоморфізму, зворотного до ${\displaystyle g.}$ Репером ${\displaystyle e_{x}^{p}}$ порядку ${\displaystyle p}$ у точці ${\displaystyle x}$ многовиду ${\displaystyle M}$ є ${\displaystyle p}$-струмінь ${\displaystyle j_{0}^{p}(f)}$ дифеоморфізму ${\displaystyle f:(\mathbb {R} ^{n},0)\rightarrow (M,x),}$ де ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},0)}$ та ${\displaystyle (M,x)}$ — окіли точок ${\displaystyle 0}$ та ${\displaystyle x}$ відповідно.

Многовид ${\displaystyle H^{p}(M)}$ усіх ${\displaystyle p}$-реперів наділений структурою головного розшарування над базою ${\displaystyle M}$ із канонічною проєкцією ${\displaystyle \pi _{p}:H^{p}(M)\rightarrow M,}$ де ${\displaystyle \pi _{p}(e_{x}^{p})=x,}$ та праводіючою диференціальною групою ${\displaystyle D_{n}^{p}}$ порядку ${\displaystyle p}$. Стандартні координати у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ породжують глобальну карту на ${\displaystyle D_{n}^{p}}$ із координатами

${\displaystyle (u_{j}^{i}(l^{p})),u_{jk}^{i},...,u_{j_{1}...j_{p}}^{i}(l^{p}),\quad \quad l^{p}\in D_{n}^{p},}$

симетричними по нижнім індексам.

Нехай ${\displaystyle T^{2}\mathbb {R} ^{n}=J_{0,0}^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n}).}$ На асоційованому розшаруванні визначена лівостороння дія групи ${\displaystyle D_{n}^{2}}$ за законом композиції 2-струменів:

${\displaystyle d^{2}\cdot \xi :\xi \mapsto d^{2}\circ \xi ,\quad \quad \xi \in T^{2}\mathbb {R} ^{n},\quad d^{2}\in D_{n}^{2}.}$

На декартовому добутку ${\displaystyle P^{2}M\times T^{2}\mathbb {R} ^{n}}$ визначена правостороння дія цієї групи:

${\displaystyle (e_{x}^{2},\xi )\cdot d^{2}=(e_{x}^{2}\cdot d^{2},\,(d^{2})^{-1}\cdot \xi ).}$

Многовид ${\displaystyle E}$ орбіт відносно даної дії є розшаруванням над ${\displaystyle M,}$ асоційованим із ${\displaystyle P^{2}M,}$ канонічна проєкція ${\displaystyle \lambda }$ з ${\displaystyle P^{2}M\times T^{2}\mathbb {R} ^{n}}$ на ${\displaystyle E}$ визначається за законом

${\displaystyle \lambda :(e_{x}^{2},\xi )\mapsto (e_{x}^{2},\xi )\cdot D_{n}^{2}{\overset {def}{=}}\langle e_{x}^{2},\xi \rangle ,}$

а дія групи ${\displaystyle D_{n}^{2}}$ на розшаруванні ${\displaystyle E}$ визначається як

${\displaystyle \langle e_{x}^{2},\xi \rangle \cdot l^{2}=\langle e_{x}^{2}\cdot l^{2},\xi \rangle .}$

Простір ${\displaystyle E}$ ототожнюється із многовидом 2-швидкостей на ${\displaystyle M}$

${\displaystyle T^{2}M=\bigcup _{x\in M}J_{0,x}^{2}(\mathbb {R} ,M)}$

посередництвом дифеоморфізму ${\displaystyle \mu :E\rightarrow T^{2}M,\,\,\,\langle e_{x}^{2},\xi \rangle \mapsto e_{x}^{2}\circ \xi .}$

Примітки

1. Ф.Гриффитс. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление.
2. П. Е. Пушкарь, Обобщение теоремы Чеканова. Диаметры иммерсированных многообразий и волновых фронтов, Тр. МИАН, 1998, том 221, 289–304.
3. А.В.Кулешов - Конструкция пункторов Веблена-Томаса в терминах струй Эресмана.

Література

• Виноградов А., Красильщик И., Лычагин В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. — М : Наука, 1986.
• ^[en], Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians, arXiv: 0908.1886