Повна група

Повна група ― група ${\displaystyle G}$, така що відображення ${\displaystyle G\to Aut(G)}$ є ізоморфізмом. Це відображення посилає елемент ${\displaystyle g\in G}$ в автоморфізм спряження ${\displaystyle s_{g}:h\to ghg^{-1}}$. Ін'єктивність цього відображення рівносильна тривіальності центра, а сюр'єктивність тому, що кожен автоморфізм є внутрішнім.

Прикладами є симетричні групи ${\displaystyle S_{n}}$ за ${\displaystyle n\neq 2,6}$ (теорема Гельдера); при цьому група ${\displaystyle S_{2}=\mathbb {Z} _{2}}$ має нетривіальний центр, а в групи ${\displaystyle S_{6}}$ існує ^[en].

Автоморфізми простої групи утворюють майже просту групу, а автоморфізми неабелевої простої групи — повну групу.

Не будь-яка група, ізоморфна своїй групі автоморфізмів, є повною: необхідно, щоб ізоморфізм здійснювався відображенням спряження. Прикладом групи, для якої ${\displaystyle G=Aut(G)}$, але яка не є повною, є група діедра ${\displaystyle D_{4}}$.

Примітки

1. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. — 2-е изд. — Москва : Наука, 1977. — С. 62.
2. Robinson, section 13.5

Література

• Robinson, Derek John Scott (1996), A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 
• Rotman, Joseph J. (1994), An introduction to the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  (розділ 7, зокрема теореми 7.15 і 7.17).

Посилання

• ^[en]: How tall is the automorphism tower of a group?