Парадокс цікавих чисел

Парадо́кс ціка́вих чи́сел — напівгумористичний парадокс, який виникає через спроби класифікувати натуральні числа як «цікаві» та «нудні». Згідно з цим парадоксом, усі натуральні числа є цікавими. Доводять це твердження методом «від супротивного»: якщо існує непорожня множина нецікавих натуральних чисел, то в цій множині існує найменше число, але найменше нецікаве число вже саме собою цікаве — що й створює суперечність.

Доведення

Строгіше «доведення» парадоксу можна сформулювати так.

Теорема. Нецікавих натуральних чисел немає.

Доведення. Припустимо, що теорема хибна, тобто існує множина натуральних чисел, які нецікаві. У зв'язку з тим, що множина натуральних чисел є цілком упорядкованою, має бути деяке найменше число в ряді нецікавих чисел. Число, яке має таку унікальну особливість, не можна вважати нецікавим, отже, воно не може перебувати в ряді нецікавих чисел.

Парадоксальний характер

Спроби поділити всі числа на «цікаві» та «нецікаві» ведуть до парадоксу або антиномії визначення. Будь-яка спроба поділу натуральних чисел на дві множини: «цікавих» і «нудних» веде до провалу. Оскільки визначення чогось цікавого є суб'єктивним, тут його можна розглянути як напівжартівливе застосування самореференції, використовуване для одержання парадоксу. Парадокс знімається, якщо поняття «цікаве» визначити об'єктивно, наприклад:

• найменше натуральне число, якому не присвячено сторінку у Вікіпедії;
• найменше число, відсутнє в інтернет-енциклопедії послідовностей цілих чисел;
• найменше число, що належить будь-якій послідовності або має будь-яку властивість

тощо.

Оскільки існує багато значущих робіт у галузі математики, які використовують самореференцію (наприклад теорема Геделя про неповноту), описуваний парадокс зачіпає серйозні проблеми в багатьох галузях досліджень.

Ця версія парадоксу поширюється лише на цілком упорядковані множини з природним порядком, такі як натуральні числа; аргумент незастосовний до дійсних чисел.

Одне із запропонованих вирішень парадоксу стверджує, що перше нецікаве число стає цікавим вже через одну цю обставину. Наприклад, якби 39 і 41 були двома нецікавими числами, число 39 можна було б вважати цікавим, тоді як 41 залишилося б нецікавим, адже воно не перше нецікаве число. Однак це вирішення є хибним, адже парадокс доводиться від супротивного: припустивши, що якесь число нецікаве, ми приходимо до того, що це саме число саме цим і цікаве, отже, нецікаве число не може існувати. Метою вирішень є, зокрема, не виявлення цікавих чи нецікавих чисел, але підняття питання про те, чи можуть числа мати такі властивості в принципі.

Слабке місце доведення — відсутність ясності щодо того, що вважати «цікавістю» числа. Однак, якщо покласти, що «предикат цікавості» пов'язаний з певним скінченним списком «цікавих властивостей натуральних чисел», і цей список містить у собі властивість «найменше число, яке не має жодної властивості з цього списку», виникає парадокс. Подібно до цього самореференція використовується в близькоспорідненому парадоксі Беррі. Оскільки парадокс лежить у визначенні поняття «цікаво», він застосовується лише до людей з певним поглядом на числа; якщо для когось усі числа видаються нецікавими і він не вважає цікавим факт, що нуль є першим нецікавим числом (у світогляді даної конкретної людини), тоді парадокс не виникає.

Примітки

1. Математические головоломки и развлечения, 1999, с. 116-118.
2. Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions, 1988, с. 148.
3. The Grapes of Math, 2014, с. 238.
4. The Grapes of Math, 2014, с. 319.
5. Nathaniel Johnston (12 червня 2009). 11630 is the First Uninteresting Number. оригіналу за 31 серпня 2010. Процитовано 2 грудня 2015.
6. Nicolas Gauvrit, Jean-Paul Delahaye, Hector Zenil (2 червня 2011). Sloane's Gap: Do Mathematical and Social Factors Explain the Distribution of Numbers in the OEIS?. arXiv. оригіналу за 25 грудня 2016. Процитовано 2 грудня 2015.
7. Charles R Greathouse IV. . CRG4.com. Архів оригіналу за 4 березня 2016. Процитовано 2 грудня 2015.

Література

• Мартин Гарднер. Математические головоломки и развлечения = Mathematical Puzzles and Diversions / Пер. с англ. , под ред. . — 2-е изд., испр. и дополн. — М. : Мир, 1999. — 447 с. — .
• Martin Gardner. Mathematical Puzzles and Diversions. — 1959. — .
• Martin Gardner. Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions: The First Scientific American Book of Puzzles and Games. — University of Chicago Press, 1988. — P. 148, 150. — .
• ^[en]. The Grapes of Math: How Life Reflects Numbers and Numbers Reflect Life / illustrations by The Surreal McCoy. — 1st edition. — New York : Simon & Schuster, 2014. — 352 p. — .