Статична ізотропна метрика — це метрика що визначає статичне ізотропне гравітаційне поле.
Під словами статичне та ізотропне розуміється наступне: завжди можна знайти набір кординат близький до кординат Мінковського , такий що інварінтний власний час не залежить від а залежить від і тільки через інваріанти групи поворотів: . Найзагальніший вигляд запису інтервалу:
,
де - невідомі функції величини
Зведення до стандартного вигляду
Вигідно замінити сферичними полярними кординатами :
Інтервал в такому разі прийме вигляд:
- ,
Ми можемо встановити наш годинник згідно з визначенням нової часової кординати
де - довільна функція від . Це дозволяє виключити недіагональний елемент , поклавши
Тоді інтервал виражається так:
Ми також можемо перевизначити радіус і тим самим накласти ще одну умову на функції , наприклад таким чином . Тоді ми отримаємо так звану стандартну форму для статичної ізотропної метрики:
де
Після останнього перетворення метричний тензор має такі ненульові компоненти:
Де функції і повинні бути визначенні шляхом розв'язування рівнянь поля. Так як — діагональний тензор, легко написати ненульові компоненти тензора, оберненого до нього:
Афінна зв'язність може бути обчислена за звичайною формулою:
Її ненульові компоненти виявляються рівними:
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
Обчислимо також тензор Річчі. Він задається формулою
Підставляючи раніше отримані компоненти афінної звізності отримаємо:
- ,
- ,
- ,
- ,
(Штрих тепер означає диференціювання по ). Висновок про те що щезають і про те що є наслідком інварінтності метрики відностно поворотів. Рівність нулю пов'язано з тим що ми встановили наш годинник так що метрика виявилась інваріантина відносно обернення часу .
Частковим випадком статичної ізотропної метрики є Метрика Шварцшильда, на випадок порожнього(нічим не заповненого) простору часу.
Література
- Вайнберг, «Гравитация и космология».
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Statichna izotropna metrika ce metrika sho viznachaye statichne izotropne gravitacijne pole Pid slovami statichne ta izotropne rozumiyetsya nastupne zavzhdi mozhna znajti nabir kordinat blizkij do kordinat Minkovskogo x 1 x 2 x 3 x 0 t displaystyle x 1 x 2 x 3 x 0 t takij sho invarintnij vlasnij chas d t 2 g m n d x m d x n displaystyle d tau 2 g mu nu dx mu dx nu ne zalezhit vid t displaystyle t a zalezhit vid x d x displaystyle mathbf x mathbf dx i tilki cherez invarianti grupi povorotiv x 2 x d x d x 2 displaystyle mathbf x 2 mathbf x cdot mathbf dx mathbf dx 2 Najzagalnishij viglyad zapisu intervalu d t 2 F r d t 2 2 E r d t x d x D r x d x 2 C r d x 2 displaystyle d tau 2 F r dt 2 2E r dt mathbf x cdot mathbf dx D r mathbf x cdot mathbf dx 2 C r mathbf dx 2 de F E C D displaystyle F E C D nevidomi funkciyi velichini r x x 1 2 displaystyle r equiv mathbf x cdot mathbf x 1 2 Zvedennya do standartnogo viglyaduVigidno zaminiti x displaystyle mathbf x sferichnimi polyarnimi kordinatami r 8 ϕ displaystyle r theta phi x 1 r sin 8 cos f displaystyle x 1 r sin theta cos varphi x 2 r sin 8 sin f displaystyle x 2 r sin theta sin varphi x 3 r cos f displaystyle x 3 r cos varphi Interval v takomu razi prijme viglyad d t 2 F r d t 2 2 r E r d t d r r 2 D r d r 2 C r d r 2 r 2 d 8 2 r 2 sin 2 8 d f 2 displaystyle d tau 2 F r dt 2 2rE r dtdr r 2 D r dr 2 C r dr 2 r 2 d theta 2 r 2 sin 2 theta d varphi 2 Mi mozhemo vstanoviti nash godinnik zgidno z viznachennyam novoyi chasovoyi kordinati t t F r displaystyle t equiv t Phi r de F r displaystyle Phi r dovilna funkciya vid r displaystyle r Ce dozvolyaye viklyuchiti nediagonalnij element g t r displaystyle g tr poklavshi d F d r r E r F r displaystyle frac d Phi dr frac rE r F r Todi interval virazhayetsya tak d t 2 F r d t 2 r 2 G r d r 2 C r d r 2 r 2 d 8 2 r 2 sin 2 8 d f 2 displaystyle d tau 2 F r dt 2 r 2 G r dr 2 C r dr 2 r 2 d theta 2 r 2 sin 2 theta d varphi 2 G r r 2 D r E 2 r F r displaystyle G r equiv r 2 left D r frac E 2 r F r right Mi takozh mozhemo pereviznachiti radius r displaystyle r i tim samim naklasti she odnu umovu na funkciyi F G C displaystyle F G C napriklad takim chinom r r 2 C r displaystyle r equiv r 2 C r Todi mi otrimayemo tak zvanu standartnu formu dlya statichnoyi izotropnoyi metriki d t 2 B r d t 2 A r d r 2 r 2 d 8 2 sin 2 8 d f 2 displaystyle d tau 2 B r dt 2 A r dr 2 r 2 d theta 2 sin 2 theta d varphi 2 de B r F r displaystyle B r equiv F r A r 1 G r C r 1 r 2 C r d C r d r 2 displaystyle A r equiv 1 frac G r C r left 1 frac r 2C r frac dC r dr right 2 Pislya ostannogo peretvorennya metrichnij tenzor maye taki nenulovi komponenti g r r A r displaystyle g rr A r g 8 8 r 2 displaystyle g theta theta r 2 g ϕ ϕ r 2 s i n 2 8 displaystyle g phi phi r 2 sin 2 theta g t t B r displaystyle g tt B r De funkciyi A r displaystyle A r i B r displaystyle B r povinni buti viznachenni shlyahom rozv yazuvannya rivnyan polya Tak yak g m n displaystyle g mu nu diagonalnij tenzor legko napisati nenulovi komponenti tenzora obernenogo do nogo g r r A 1 r displaystyle g rr A 1 r g 8 8 r 2 displaystyle g theta theta r 2 g ϕ ϕ r 2 s i n 2 8 displaystyle g phi phi r 2 sin 2 theta g t t B 1 r displaystyle g tt B 1 r Simvoli Kristofelya ta tenzor RichiAfinna zv yaznist mozhe buti obchislena za zvichajnoyu formuloyu G i j s 1 2 g s k i g j k j g k i k g i j displaystyle Gamma ij s 1 over 2 g sk left partial i g jk partial j g ki partial k g ij right Yiyi nenulovi komponenti viyavlyayutsya rivnimi G r r r 1 2 A r d A r d x displaystyle Gamma rr r frac 1 2A r frac dA r dx G ϕ ϕ r r s i n 2 8 A r displaystyle Gamma phi phi r frac rsin 2 theta A r G r 8 8 G 8 r 8 1 r displaystyle Gamma r theta theta Gamma theta r theta frac 1 r G r ϕ ϕ G ϕ r ϕ 1 r displaystyle Gamma r phi phi Gamma phi r phi frac 1 r G 8 8 r r A r displaystyle Gamma theta theta r frac r A r G t t r 1 2 A r d B r d x displaystyle Gamma tt r frac 1 2A r frac dB r dx G ϕ ϕ 8 s i n 8 c o s 8 displaystyle Gamma phi phi theta sin theta cos theta G 8 ϕ ϕ G ϕ 8 ϕ c t g 8 displaystyle Gamma theta phi phi Gamma phi theta phi ctg theta G t r t G r t t 1 2 B r d B r d x displaystyle Gamma tr t Gamma rt t frac 1 2B r frac dB r dx Obchislimo takozh tenzor Richchi Vin zadayetsya formuloyu R s n R r s r n r G n s r n G r s r G r l r G n s l G n l r G r s l displaystyle R sigma nu R rho sigma rho nu partial rho Gamma nu sigma rho partial nu Gamma rho sigma rho Gamma rho lambda rho Gamma nu sigma lambda Gamma nu lambda rho Gamma rho sigma lambda Pidstavlyayuchi ranishe otrimani komponenti afinnoyi zviznosti otrimayemo R r r B r 2 B r 1 4 B r B r A r A r B r B r 1 r A r A r displaystyle R rr frac B r 2B r frac 1 4 frac B r B r left frac A r A r frac B r B r right frac 1 r frac A r A r R 8 8 1 r 2 A r A r A r B r B r 1 A r displaystyle R theta theta 1 frac r 2A r left frac A r A r frac B r B r right frac 1 A r R ϕ ϕ s i n 2 8 R 8 8 displaystyle R phi phi sin 2 theta R theta theta R t t B r 2 A r 1 4 B r A r A r A r B r B r 1 r B r A r displaystyle R tt frac B r 2A r frac 1 4 frac B r A r left frac A r A r frac B r B r right frac 1 r frac B r A r Shtrih teper oznachaye diferenciyuvannya po r displaystyle r Visnovok pro te sho R 8 r R 8 ϕ R ϕ r R ϕ t R 8 t displaystyle R theta r R theta phi R phi r R phi t R theta t shezayut i pro te sho R ϕ ϕ s i n 2 R 8 8 displaystyle R phi phi sin 2 R theta theta ye naslidkom invarintnosti metriki vidnostno povorotiv Rivnist nulyu R t r displaystyle R tr pov yazano z tim sho mi vstanovili nash godinnik tak sho metrika viyavilas invariantina vidnosno obernennya chasu t t displaystyle t leftrightarrow t Chastkovim vipadkom statichnoyi izotropnoyi metriki ye Metrika Shvarcshilda na vipadok porozhnogo nichim ne zapovnenogo prostoru chasu LiteraturaVajnberg Gravitaciya i kosmologiya