Добуток Хатрі-Рао (англ. Khatri-Rao product) — матрична операція перемноження матриць, що визначається виразом:
в якому ij-й блок являє собою добуток Кронекера mipi × njqj відповідних блоків A і B за умови, що кількість рядків і стовпців обох матриць однакова. Розмірність добутку — (Σi mipi) × (Σj njqj).
Наприклад, якщо матриці A і B мають блокову розмірність 2 × 2
отримаємо:
Стовпцевий добуток Хатрі-Рао
Стовпцевий добуток Кронекера двох матриць також прийнято називати добутком Хатрі-Рао. Цей добуток передбачає, що блоки матриць є їх стовпцями. В такому випадку m1 = m, p1 = p, n = q і для кожного j: nj = pj = 1. Результатом добутку є mp × n- матрица, кожен стовпець якої отримується як добуток Кронекера відповідних стовпців матриць A і B. Спираючись на розбиття матриць з попереднього прикладу на стовпці, отримаємо:
і далі:
Застосування
Стовпцева версія добутку Хатрі-Рао застосовується в лінійній алгебрі для аналітичної обробки даних і оптимізації рішень проблеми обернення діагональних матриць.
В 1996 р. стовпцевий добуток Хатрі-Рао був запропонований для формалізації задачі оцінювання напрямку приходу та часу затримки сигналів в цифровій антенній решітці, а також для опису відгуку 4-координатного радара.
Торцевий добуток
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekkzTDBaaFkyVmZjM0JzYVhSMGFXNW5YM0J5YjJSMVkzUmZiMlpmYldGMGNtbGpaWE11YW5Cbkx6SXlNSEI0TFVaaFkyVmZjM0JzYVhSMGFXNW5YM0J5YjJSMVkzUmZiMlpmYldGMGNtbGpaWE11YW5Cbi5qcGc=.jpg)
Альтернативна концепція добутку матриць, яка на відміну від стовпцевої версії добутку Хатрі-Рао використовує розбиття матриць на рядки, була запропонована Слюсарем В. І. в 1996 р. і названа ним торцевий добуток (англ. face-splitting product) або транспонований добуток Хатрі-Рао (англ. transposed Khatri-Rao product).
Цей тип матричного добутку спирається на перемноження елементів рядків двох і більше матриць з однаковою кількістю рядків за правилом добутку Кронекера. Використовуючи розбиття матриць з попередніх прикладів на рядки:
можна записати:
Основні властивості
- Транспонування (Слюсар В.І., 1996):
- Комутативність і асоціативність:
де A, B і C — матриці, а k — скаляр,
де,
— вектор з тією ж кількістю елементів, що і кількість рядків матриці
,
- Властивість змішаного добутку (1997):
,
,
,
,
означає добуток Адамара,
,
,
,
,
,
,
, де
і
є векторами узгодженої розмірності,
,
,
, де
і
є векторами узгодженої розмірності,
,
,
деє символом векторної згортки, і
— матриця дискретного перетворення Фур'є (тотожність є розвитком властивості відлікового скетча),
, де
—
матриця,
—
матриця,
,
— вектори з
та
одиниць відповідно,
, де
є
матрицею,
— добуток Адамара і
— вектор з
одиниць.
, де
— символ (проникаючого торцевого добутку) матриць.
Аналогічно,, де
—
матриця,
—
матриця.
,
,
,
,
,
де— вектор, утворений із діагональних елементів матриці
,
— операція формування вектора з матриці
шляхом розташування один під одним її стовпців.
- Властивість поглинання добутку Кронекера:
,
,
,
деі
є векторами узгодженої розмірності,
Наприклад,
та інші. Крім того, Слюсарем В. І. були запропоновані блокові версії транспонованого добутку та досліджені їх властивості.
Блоковий торцевий добуток
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelJoTDFSeVlXNXpjRzl6WldSZlFteHZZMnRmUm1GalpTMVRjR3hwZEhScGJtZGZVSEp2WkhWamRDNXFjR2N2TWpJd2NIZ3RWSEpoYm5Od2IzTmxaRjlDYkc5amExOUdZV05sTFZOd2JHbDBkR2x1WjE5UWNtOWtkV04wTG1wd1p3PT0uanBn.jpg)
Для блокових матриць з однаковою кількістю рядків у відповідних блоках
згідно з визначенням, блоковий торцевий добуток запишеться у вигляді:
.
Аналогічно для блокового транспонованого торцевого добутку (або блокового стовпцевого добутку Хатрі-Рао) двох матриць з однаковою кількістю стовпців у відповідних блоках справедливо:
.
Основні властивості
Застосування
Родина торцевих добутків матриць стала основою започаткованої Слюсарем В. І. тензорно-матричної теорії цифрових антенних решіток для радіотехнічних систем, яка надалі отримала розвиток як частина теорії цифрової обробки сигналів.
Торцевий добуток набув широкого поширення в системах машинного навчання, статистичній обробці великих даних. Він дозволяє скоротити обсяги обчислень при реалізації методу зменшення розмірності даних, що одержав назву тензорний скетч а також (швидкого перетворення Джонсона — Лінденштрауса). При цьому здійснюється перехід від матриці великої розмірності до добутку Адамара, що оперує матрицями меншого розміру. Похибки апроксимації данних великої розмірності на основі торцевого добутку матриць задовольняють лемі Джонсона — Лінденштрауса. У тому ж контексті ідея торцевого добутку може бути використана для вирішення завдання диференційної приватності (англ. differential privacy). Крім того, аналогічні обчислення були застосовані для формування тензорів співпадань в задачах обробки природної мови і побудови гіперграфів подібності зображень.
Торцевий добуток використаний у 2003 р. для P-сплайн апроксимації, у 2006 р. — для побудови узагальнених лінійних моделей масивів даних (GLAM) при їх статистичній обробці, а також для ефективної реалізації ядрових методів машинного навчання та дослідження взаємодії генотипів з оточуючим середовищем.
Див. також
Примітки
- Khatri C. G., (1968). . . 30: 167—180. Архів оригіналу (PDF) за 23 жовтня 2010. Процитовано 21 серпня 2008.
- Zhang X; Yang Z; Cao C. (2002), Inequalities involving Khatri–Rao products of positive semi-definite matrices, Applied Mathematics E-notes, 2: 117—124
- See e.g. H.D. Macedo and J.N. Oliveira. A linear algebra approach to OLAP. Formal Aspects of Computing, 27(2):283–307, 2015.
- Lev-Ari, Hanoch (1 січня 2005). . Communications in Information & Systems (EN) . 05 (1): 123—130. doi:10.4310/CIS.2005.v5.n1.a5. ISSN 1526-7555. Архів оригіналу за 12 липня 2020. Процитовано 12 липня 2020.
- Masiero, B.; Nascimento, V. H. (1 травня 2017). . IEEE Signal Processing Letters. 24 (5): 525—529. Bibcode:2017ISPL...24..525M. doi:10.1109/LSP.2017.2674969. ISSN 1070-9908. Архів оригіналу за 12 липня 2020. Процитовано 12 липня 2020.
- Vanderveen, M. C., Ng, B. C., Papadias, C. B., & Paulraj, A. (n.d.). Joint angle and delay estimation (JADE) for signals in multipath environments. Conference Record of The Thirtieth Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. — DOI:10.1109/acssc.1996.599145
- Slyusar, V. I. (27 грудня 1996). (PDF). Radioelectronics and Communications Systems.– 1998, Vol. 41; Number 3: 50—53. Архів оригіналу (PDF) за 27 липня 2020. Процитовано 27 липня 2020.
- Anna Esteve, Eva Boj & Josep Fortiana (2009): Interaction Terms in Distance-Based Regression, Communications in Statistics — Theory and Methods, 38:19, P. 3501 [1] [ 26 квітня 2021 у Wayback Machine.]
- Slyusar, V. I. (20 травня 1997). (PDF). Proc. ICATT- 97, Kyiv: 108—109. Архів оригіналу (PDF) за 25 січня 2020. Процитовано 12 липня 2020.
- Slyusar, V. I. (1999). (PDF). Cybernetics and Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 35 (3): 379—384. doi:10.1007/BF02733426. Архів оригіналу (PDF) за 25 січня 2020. Процитовано 12 липня 2020.
- Slyusar, V. I. (2003). (PDF). Radioelectronics and Communications Systems. 46 (10): 9—17. Архів оригіналу (PDF) за 20 вересня 2020. Процитовано 12 липня 2020.
- Миночкин А.И., Рудаков В.И., Слюсар В.И. (2012). (PDF). с. C. 7 - 98, 354—521. Архів оригіналу (PDF) за 25 січня 2020. Процитовано 12 липня 2020.
- Slyusar, V. I. (15 вересня 1997). (PDF). Proc. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv.: 73—74. Архів оригіналу (PDF) за 25 січня 2020. Процитовано 12 липня 2020.
- C. Radhakrishna Rao. Estimation of Heteroscedastic Variances in Linear Models.//Journal of the American Statistical Association, Vol. 65, No. 329 (Mar., 1970), pp. 161—172
- Vadym Slyusar. New Matrix Operations for DSP (Lecture). April 1999. - DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1
- Kasiviswanathan, Shiva Prasad, et al. «The price of privately releasing contingency tables and the spectra of random matrices with correlated rows.» Proceedings of the forty-second ACM symposium on Theory of computing. 2010.
- Thomas D. Ahle, Jakob Bæk Tejs Knudsen. Almost Optimal Tensor Sketch. Published 2019. Mathematics, Computer Science, ArXiv [ 28 липня 2020 у Wayback Machine.]
- Ninh, Pham; Rasmus, Pagh (2013). Fast and scalable polynomial kernels via explicit feature maps. SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining. Association for Computing Machinery. doi:10.1145/2487575.2487591.
- Eilers, Paul H.C.; Marx, Brian D. (2003). Multivariate calibration with temperature interaction using two-dimensional penalized signal regression. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 66 (2): 159—174. doi:10.1016/S0169-7439(03)00029-7.
- Currie, I. D.; Durban, M.; Eilers, P. H. C. (2006). Generalized linear array models with applications to multidimensional smoothing. . 68 (2): 259—280. doi:10.1111/j.1467-9868.2006.00543.x.
- Ahle, Thomas; Kapralov, Michael; Knudsen, Jakob; Pagh, Rasmus; Velingker, Ameya; Woodruff, David; Zandieh, Amir (2020). Oblivious Sketching of High-Degree Polynomial Kernels. ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. Association for Computing Machinery. doi:10.1137/1.9781611975994.9.
- Bryan Bischof. Higher order co-occurrence tensors for hypergraphs via face-splitting. Published 15 February, 2020, Mathematics, Computer Science, ArXiv [ 25 листопада 2020 у Wayback Machine.]
- Johannes W. R. Martini, Jose Crossa, Fernando H. Toledo, Jaime Cuevas. On Hadamard and Kronecker products in covariance structures for genotype x environment interaction.//Plant Genome. 2020;13:e20033. Page 5. [2]
Джерела
- Khatri C. G., C. R. Rao (1968). . Sankhya. 30: 167—180. Архів оригіналу за 23 жовтня 2010. Процитовано 21 серпня 2008.
- Zhang X; Yang Z; Cao C. (2002), Inequalities involving Khatri–Rao products of positive semi-definite matrices, Applied Mathematics E-notes, 2: 117—124
- Matrix Algebra & Its Applications to Statistics & Econometrics./C. R. Rao with M. Bhaskara Rao. — World Scientific. — 1998. — P. 216.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Dobutok Hatri Rao angl Khatri Rao product matrichna operaciya peremnozhennya matric sho viznachayetsya virazom A B A i j B i j i j displaystyle mathbf A ast mathbf B left mathbf A ij otimes mathbf B ij right ij v yakomu ij j blok yavlyaye soboyu dobutok Kronekera mipi njqj vidpovidnih blokiv A i B za umovi sho kilkist ryadkiv i stovpciv oboh matric odnakova Rozmirnist dobutku Si mipi Sj njqj Napriklad yaksho matrici A i B mayut blokovu rozmirnist 2 2 A A 11 A 12 A 21 A 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B B 11 B 12 B 21 B 22 1 4 7 2 5 8 3 6 9 displaystyle mathbf A left begin array c c mathbf A 11 amp mathbf A 12 hline mathbf A 21 amp mathbf A 22 end array right left begin array c c c 1 amp 2 amp 3 4 amp 5 amp 6 hline 7 amp 8 amp 9 end array right quad mathbf B left begin array c c mathbf B 11 amp mathbf B 12 hline mathbf B 21 amp mathbf B 22 end array right left begin array c c c 1 amp 4 amp 7 hline 2 amp 5 amp 8 3 amp 6 amp 9 end array right otrimayemo A B A 11 B 11 A 12 B 12 A 21 B 21 A 22 B 22 1 2 12 21 4 5 24 42 14 16 45 72 21 24 54 81 displaystyle mathbf A ast mathbf B left begin array c c mathbf A 11 otimes mathbf B 11 amp mathbf A 12 otimes mathbf B 12 hline mathbf A 21 otimes mathbf B 21 amp mathbf A 22 otimes mathbf B 22 end array right left begin array c c c c 1 amp 2 amp 12 amp 21 4 amp 5 amp 24 amp 42 hline 14 amp 16 amp 45 amp 72 21 amp 24 amp 54 amp 81 end array right Stovpcevij dobutok Hatri RaoStovpcevij dobutok Kronekera dvoh matric takozh prijnyato nazivati dobutkom Hatri Rao Cej dobutok peredbachaye sho bloki matric ye yih stovpcyami V takomu vipadku m1 m p1 p n q i dlya kozhnogo j nj pj 1 Rezultatom dobutku ye mp n matrica kozhen stovpec yakoyi otrimuyetsya yak dobutok Kronekera vidpovidnih stovpciv matric A i B Spirayuchis na rozbittya matric z poperednogo prikladu na stovpci otrimayemo C C 1 C 2 C 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D D 1 D 2 D 3 1 4 7 2 5 8 3 6 9 displaystyle mathbf C left begin array c c c mathbf C 1 amp mathbf C 2 amp mathbf C 3 end array right left begin array c c c 1 amp 2 amp 3 4 amp 5 amp 6 7 amp 8 amp 9 end array right quad mathbf D left begin array c c c mathbf D 1 amp mathbf D 2 amp mathbf D 3 end array right left begin array c c c 1 amp 4 amp 7 2 amp 5 amp 8 3 amp 6 amp 9 end array right i dali C D C 1 D 1 C 2 D 2 C 3 D 3 1 8 21 2 10 24 3 12 27 4 20 42 8 25 48 12 30 54 7 32 63 14 40 72 21 48 81 displaystyle mathbf C ast mathbf D left begin array c c c mathbf C 1 otimes mathbf D 1 amp mathbf C 2 otimes mathbf D 2 amp mathbf C 3 otimes mathbf D 3 end array right left begin array c c c 1 amp 8 amp 21 2 amp 10 amp 24 3 amp 12 amp 27 4 amp 20 amp 42 8 amp 25 amp 48 12 amp 30 amp 54 7 amp 32 amp 63 14 amp 40 amp 72 21 amp 48 amp 81 end array right Zastosuvannya Stovpceva versiya dobutku Hatri Rao zastosovuyetsya v linijnij algebri dlya analitichnoyi obrobki danih i optimizaciyi rishen problemi obernennya diagonalnih matric V 1996 r stovpcevij dobutok Hatri Rao buv zaproponovanij dlya formalizaciyi zadachi ocinyuvannya napryamku prihodu ta chasu zatrimki signaliv v cifrovij antennij reshitci a takozh dlya opisu vidguku 4 koordinatnogo radara Torcevij dobutokTorcevij dobutok matric Alternativna koncepciya dobutku matric yaka na vidminu vid stovpcevoyi versiyi dobutku Hatri Rao vikoristovuye rozbittya matric na ryadki bula zaproponovana Slyusarem V I v 1996 r i nazvana nim torcevij dobutok angl face splitting product abo transponovanij dobutok Hatri Rao angl transposed Khatri Rao product Cej tip matrichnogo dobutku spirayetsya na peremnozhennya elementiv ryadkiv dvoh i bilshe matric z odnakovoyu kilkistyu ryadkiv za pravilom dobutku Kronekera Vikoristovuyuchi rozbittya matric z poperednih prikladiv na ryadki C C 1 C 2 C 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D D 1 D 2 D 3 1 4 7 2 5 8 3 6 9 displaystyle mathbf C left begin array c c mathbf C 1 hline mathbf C 2 hline mathbf C 3 end array right left begin array c c c 1 amp 2 amp 3 hline 4 amp 5 amp 6 hline 7 amp 8 amp 9 end array right quad mathbf D left begin array c mathbf D 1 hline mathbf D 2 hline mathbf D 3 end array right left begin array c c c 1 amp 4 amp 7 hline 2 amp 5 amp 8 hline 3 amp 6 amp 9 end array right mozhna zapisati C D C 1 D 1 C 2 D 2 C 3 D 3 1 4 7 2 8 14 3 12 21 8 20 32 10 25 40 12 30 48 21 42 63 24 48 72 27 54 81 displaystyle mathbf C bullet mathbf D left begin array c mathbf C 1 otimes mathbf D 1 hline mathbf C 2 otimes mathbf D 2 hline mathbf C 3 otimes mathbf D 3 end array right left begin array c c c c c c c c c 1 amp 4 amp 7 amp 2 amp 8 amp 14 amp 3 amp 12 amp 21 hline 8 amp 20 amp 32 amp 10 amp 25 amp 40 amp 12 amp 30 amp 48 hline 21 amp 42 amp 63 amp 24 amp 48 amp 72 amp 27 amp 54 amp 81 end array right Osnovni vlastivostiTransponuvannya Slyusar V I 1996 A B T A T B T displaystyle left mathbf A bullet mathbf B right textsf T textbf A textsf T ast mathbf B textsf T Komutativnist i asociativnist A B C A B A C B C A B A C A k A B A k B k A B A B C A B C displaystyle begin aligned mathbf A bullet mathbf B mathbf C amp mathbf A bullet mathbf B mathbf A bullet mathbf C mathbf B mathbf C bullet mathbf A amp mathbf B bullet mathbf A mathbf C bullet mathbf A k mathbf A bullet mathbf B amp mathbf A bullet k mathbf B k mathbf A bullet mathbf B mathbf A bullet mathbf B bullet mathbf C amp mathbf A bullet mathbf B bullet mathbf C end aligned de A B i C matrici a k skalyar a B B a displaystyle a bullet mathbf B mathbf B bullet a de a displaystyle a vektor z tiyeyu zh kilkistyu elementiv sho i kilkist ryadkiv matrici B displaystyle mathbf B Vlastivist zmishanogo dobutku 1997 A B A T B T A A T B B T displaystyle mathbf A bullet mathbf B left mathbf A textsf T ast mathbf B textsf T right left mathbf A mathbf A textsf T right circ left mathbf B mathbf B textsf T right A B C D A C B D displaystyle mathbf A bullet mathbf B mathbf C ast mathbf D mathbf A mathbf C circ mathbf B mathbf D A B C D L M N P A L B M C N D P displaystyle mathbf A bullet mathbf B bullet mathbf C bullet mathbf D mathbf L ast mathbf M ast mathbf N ast mathbf P mathbf A mathbf L circ mathbf B mathbf M circ mathbf C mathbf N circ mathbf D mathbf P A B T A B A T A B T B displaystyle mathbf A ast mathbf B textsf T mathbf A ast mathbf B mathbf A textsf T mathbf A circ mathbf B textsf T mathbf B de displaystyle circ oznachaye dobutok Adamara A B C D A C B D displaystyle mathbf A circ mathbf B bullet mathbf C circ mathbf D mathbf A bullet mathbf C circ mathbf B bullet mathbf D A B C A B C displaystyle mathbf A otimes mathbf B bullet mathbf C mathbf A otimes mathbf B bullet mathbf C A B C D A C B D displaystyle mathbf A otimes mathbf B mathbf C ast mathbf D mathbf A mathbf C ast mathbf B mathbf D A B C D A C B D displaystyle mathbf A bullet mathbf B mathbf C otimes mathbf D mathbf A mathbf C bullet mathbf B mathbf D A L B M C S A B C L M S displaystyle mathbf A bullet mathbf L mathbf B otimes mathbf M mathbf C otimes mathbf S mathbf A mathbf B mathbf C bullet mathbf L mathbf M mathbf S c T d T c T d T displaystyle c textsf T bullet d textsf T c textsf T otimes d textsf T c d c d displaystyle c ast d c otimes d de c displaystyle c i d displaystyle d ye vektorami uzgodzhenoyi rozmirnosti A c T d A d T c displaystyle mathbf A ast c textsf T d mathbf A ast d textsf T c d T c A T c T d A T displaystyle d textsf T c bullet mathbf A textsf T c textsf T d bullet mathbf A textsf T A B c d A c B d displaystyle mathbf A bullet mathbf B c otimes d mathbf A c circ mathbf B d de c displaystyle c i d displaystyle d ye vektorami uzgodzhenoyi rozmirnosti A B M N c Q P d A M N c B Q P d displaystyle mathbf A bullet mathbf B mathbf M mathbf N c otimes mathbf Q mathbf P d mathbf A mathbf M mathbf N c circ mathbf B mathbf Q mathbf P d F C 1 x C 2 y F C 1 F C 2 x y F C 1 x F C 2 y displaystyle mathcal F C 1 x star C 2 y mathcal F C 1 bullet mathcal F C 2 x otimes y mathcal F C 1 x circ mathcal F C 2 y de displaystyle star ye simvolom vektornoyi zgortki i F displaystyle mathcal F matricya diskretnogo peretvorennya Fur ye totozhnist ye rozvitkom vlastivosti vidlikovogo sketcha A B A 1 c T 1 k T B displaystyle mathbf A bullet mathbf B mathbf A otimes mathbf 1 c textsf T circ mathbf 1 k textsf T otimes mathbf B de A displaystyle mathbf A r c displaystyle r times c matricya B displaystyle mathbf B r k displaystyle r times k matricya 1 c displaystyle mathbf 1 c 1 k displaystyle mathbf 1 k vektori z c displaystyle c ta k displaystyle k odinic vidpovidno M M M 1 T 1 T M displaystyle mathbf M bullet mathbf M mathbf M otimes mathbf 1 textsf T circ mathbf 1 textsf T otimes mathbf M de M displaystyle mathbf M ye r c displaystyle r times c matriceyu displaystyle circ dobutok Adamara i 1 displaystyle mathbf 1 vektor z c displaystyle c odinic M M M M 1 T displaystyle mathbf M bullet mathbf M mathbf M circ mathbf M otimes mathbf 1 textsf T de displaystyle circ simvol pronikayuchogo torcevogo dobutku matric Analogichno P N P 1 c 1 k N displaystyle mathbf P ast mathbf N mathbf P otimes mathbf 1 c circ mathbf 1 k otimes mathbf N de P displaystyle mathbf P c r displaystyle c times r matricya N displaystyle mathbf N k r displaystyle k times r matricya W d A w A displaystyle mathbf W d mathbf A mathbf w bullet mathbf A v e c w T A B B T A w displaystyle vec mathbf w textsf T ast mathbf A mathbf B mathbf B textsf T ast mathbf A mathbf w v e c A w B B T A w displaystyle vec mathbf A mathbf w bullet mathbf B mathbf B textsf T ast mathbf A mathbf w v e c A T W d A A A T w displaystyle vec mathbf A textsf T mathbf W d mathbf A mathbf A bullet mathbf A textsf T mathbf w v e c A W d A T A T A T T w A A w displaystyle vec mathbf A mathbf W d mathbf A textsf T mathbf A textsf T bullet mathbf A textsf T textsf T mathbf w mathbf A ast mathbf A mathbf w de w displaystyle mathbf w vektor utvorenij iz diagonalnih elementiv matrici W d displaystyle mathbf W d v e c A displaystyle vec mathbf A operaciya formuvannya vektora z matrici A displaystyle mathbf A shlyahom roztashuvannya odin pid odnim yiyi stovpciv Vlastivist poglinannya dobutku Kronekera A L B M C S K T A B C K L M S T displaystyle mathbf A bullet mathbf L mathbf B otimes mathbf M mathbf C otimes mathbf S mathbf K ast mathbf T mathbf A mathbf B mathbf C mathbf K circ mathbf L mathbf M mathbf S mathbf T A L B M C S c d A B C c L M S d displaystyle mathbf A bullet mathbf L mathbf B otimes mathbf M mathbf C otimes mathbf S c otimes d mathbf A mathbf B mathbf C c circ mathbf L mathbf M mathbf S d A L B M C S P c Q d A B C P c L M S Q d displaystyle mathbf A bullet mathbf L mathbf B otimes mathbf M mathbf C otimes mathbf S mathbf P c otimes mathbf Q d mathbf A mathbf B mathbf C mathbf P c circ mathbf L mathbf M mathbf S mathbf Q d de c displaystyle c i d displaystyle d ye vektorami uzgodzhenoyi rozmirnosti Napriklad 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 s 1 0 0 s 2 r 1 0 0 r 2 x 1 x 2 y 1 y 2 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 s 1 0 0 s 2 x 1 x 2 1 1 1 1 r 1 0 0 r 2 y 1 y 2 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 s 1 0 0 s 2 x 1 x 2 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 r 1 0 0 r 2 y 1 y 2 displaystyle begin aligned amp quad left begin bmatrix 1 amp 0 0 amp 1 1 amp 0 end bmatrix bullet begin bmatrix 1 amp 0 1 amp 0 0 amp 1 end bmatrix right left begin bmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end bmatrix otimes begin bmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end bmatrix right left begin bmatrix sigma 1 amp 0 0 amp sigma 2 end bmatrix otimes begin bmatrix rho 1 amp 0 0 amp rho 2 end bmatrix right left begin bmatrix x 1 x 2 end bmatrix ast begin bmatrix y 1 y 2 end bmatrix right 5pt amp quad left begin bmatrix 1 amp 0 0 amp 1 1 amp 0 end bmatrix bullet begin bmatrix 1 amp 0 1 amp 0 0 amp 1 end bmatrix right left begin bmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end bmatrix begin bmatrix sigma 1 amp 0 0 amp sigma 2 end bmatrix begin bmatrix x 1 x 2 end bmatrix otimes begin bmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end bmatrix begin bmatrix rho 1 amp 0 0 amp rho 2 end bmatrix begin bmatrix y 1 y 2 end bmatrix right 5pt amp quad begin bmatrix 1 amp 0 0 amp 1 1 amp 0 end bmatrix begin bmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end bmatrix begin bmatrix sigma 1 amp 0 0 amp sigma 2 end bmatrix begin bmatrix x 1 x 2 end bmatrix circ begin bmatrix 1 amp 0 1 amp 0 0 amp 1 end bmatrix begin bmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end bmatrix begin bmatrix rho 1 amp 0 0 amp rho 2 end bmatrix begin bmatrix y 1 y 2 end bmatrix end aligned ta inshi Krim togo Slyusarem V I buli zaproponovani blokovi versiyi transponovanogo dobutku ta doslidzheni yih vlastivosti Blokovij torcevij dobutokZastosuvannya blokovogo transponovanogo torcevogo dobutku dlya opisu vidguku bagatogrannoyi cifrovoyi antennoyi reshitki Dlya blokovih matric z odnakovoyu kilkistyu ryadkiv u vidpovidnih blokah A A 11 A 12 A 21 A 22 B B 11 B 12 B 21 B 22 displaystyle mathbf A left begin array c c mathbf A 11 amp mathbf A 12 hline mathbf A 21 amp mathbf A 22 end array right quad mathbf B left begin array c c mathbf B 11 amp mathbf B 12 hline mathbf B 21 amp mathbf B 22 end array right zgidno z viznachennyam blokovij torcevij dobutok A B displaystyle mathbf A bullet mathbf B zapishetsya u viglyadi A B A 11 B 11 A 12 B 12 A 21 B 21 A 22 B 22 displaystyle mathbf A bullet mathbf B left begin array c c mathbf A 11 bullet mathbf B 11 amp mathbf A 12 bullet mathbf B 12 hline mathbf A 21 bullet mathbf B 21 amp mathbf A 22 bullet mathbf B 22 end array right Analogichno dlya blokovogo transponovanogo torcevogo dobutku abo blokovogo stovpcevogo dobutku Hatri Rao dvoh matric A B displaystyle mathbf A ast mathbf B z odnakovoyu kilkistyu stovpciv u vidpovidnih blokah spravedlivo A B A 11 B 11 A 12 B 12 A 21 B 21 A 22 B 22 displaystyle mathbf A ast mathbf B left begin array c c mathbf A 11 ast mathbf B 11 amp mathbf A 12 ast mathbf B 12 hline mathbf A 21 ast mathbf B 21 amp mathbf A 22 ast mathbf B 22 end array right Osnovni vlastivosti Transponuvannya A B T A T B T displaystyle left mathbf A ast mathbf B right textsf T textbf A textsf T bullet mathbf B textsf T Zastosuvannya Rodina torcevih dobutkiv matric stala osnovoyu zapochatkovanoyi Slyusarem V I tenzorno matrichnoyi teoriyi cifrovih antennih reshitok dlya radiotehnichnih sistem yaka nadali otrimala rozvitok yak chastina teoriyi cifrovoyi obrobki signaliv Torcevij dobutok nabuv shirokogo poshirennya v sistemah mashinnogo navchannya statistichnij obrobci velikih danih Vin dozvolyaye skorotiti obsyagi obchislen pri realizaciyi metodu zmenshennya rozmirnosti danih sho oderzhav nazvu tenzornij sketch a takozh shvidkogo peretvorennya Dzhonsona Lindenshtrausa Pri comu zdijsnyuyetsya perehid vid matrici velikoyi rozmirnosti do dobutku Adamara sho operuye matricyami menshogo rozmiru Pohibki aproksimaciyi dannih velikoyi rozmirnosti na osnovi torcevogo dobutku matric zadovolnyayut lemi Dzhonsona Lindenshtrausa U tomu zh konteksti ideya torcevogo dobutku mozhe buti vikoristana dlya virishennya zavdannya diferencijnoyi privatnosti angl differential privacy Krim togo analogichni obchislennya buli zastosovani dlya formuvannya tenzoriv spivpadan v zadachah obrobki prirodnoyi movi i pobudovi gipergrafiv podibnosti zobrazhen Torcevij dobutok vikoristanij u 2003 r dlya P splajn aproksimaciyi u 2006 r dlya pobudovi uzagalnenih linijnih modelej masiviv danih GLAM pri yih statistichnij obrobci a takozh dlya efektivnoyi realizaciyi yadrovih metodiv mashinnogo navchannya ta doslidzhennya vzayemodiyi genotipiv z otochuyuchim seredovishem Div takozhDobutok Kronekera Tenzornij sketch Lema Dzhonsona LindenshtrausaPrimitkiKhatri C G 1968 30 167 180 Arhiv originalu PDF za 23 zhovtnya 2010 Procitovano 21 serpnya 2008 Zhang X Yang Z Cao C 2002 Inequalities involving Khatri Rao products of positive semi definite matrices Applied Mathematics E notes 2 117 124 See e g H D Macedo and J N Oliveira A linear algebra approach to OLAP Formal Aspects of Computing 27 2 283 307 2015 Lev Ari Hanoch 1 sichnya 2005 Communications in Information amp Systems EN 05 1 123 130 doi 10 4310 CIS 2005 v5 n1 a5 ISSN 1526 7555 Arhiv originalu za 12 lipnya 2020 Procitovano 12 lipnya 2020 Masiero B Nascimento V H 1 travnya 2017 IEEE Signal Processing Letters 24 5 525 529 Bibcode 2017ISPL 24 525M doi 10 1109 LSP 2017 2674969 ISSN 1070 9908 Arhiv originalu za 12 lipnya 2020 Procitovano 12 lipnya 2020 Vanderveen M C Ng B C Papadias C B amp Paulraj A n d Joint angle and delay estimation JADE for signals in multipath environments Conference Record of The Thirtieth Asilomar Conference on Signals Systems and Computers DOI 10 1109 acssc 1996 599145 Slyusar V I 27 grudnya 1996 PDF Radioelectronics and Communications Systems 1998 Vol 41 Number 3 50 53 Arhiv originalu PDF za 27 lipnya 2020 Procitovano 27 lipnya 2020 Anna Esteve Eva Boj amp Josep Fortiana 2009 Interaction Terms in Distance Based Regression Communications in Statistics Theory and Methods 38 19 P 3501 1 26 kvitnya 2021 u Wayback Machine Slyusar V I 20 travnya 1997 PDF Proc ICATT 97 Kyiv 108 109 Arhiv originalu PDF za 25 sichnya 2020 Procitovano 12 lipnya 2020 Slyusar V I 1999 PDF Cybernetics and Systems Analysis C C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz 35 3 379 384 doi 10 1007 BF02733426 Arhiv originalu PDF za 25 sichnya 2020 Procitovano 12 lipnya 2020 Slyusar V I 2003 PDF Radioelectronics and Communications Systems 46 10 9 17 Arhiv originalu PDF za 20 veresnya 2020 Procitovano 12 lipnya 2020 Minochkin A I Rudakov V I Slyusar V I 2012 PDF s C 7 98 354 521 Arhiv originalu PDF za 25 sichnya 2020 Procitovano 12 lipnya 2020 Slyusar V I 15 veresnya 1997 PDF Proc Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory DIPED 97 Lviv 73 74 Arhiv originalu PDF za 25 sichnya 2020 Procitovano 12 lipnya 2020 C Radhakrishna Rao Estimation of Heteroscedastic Variances in Linear Models Journal of the American Statistical Association Vol 65 No 329 Mar 1970 pp 161 172 Vadym Slyusar New Matrix Operations for DSP Lecture April 1999 DOI 10 13140 RG 2 2 31620 76164 1 Kasiviswanathan Shiva Prasad et al The price of privately releasing contingency tables and the spectra of random matrices with correlated rows Proceedings of the forty second ACM symposium on Theory of computing 2010 Thomas D Ahle Jakob Baek Tejs Knudsen Almost Optimal Tensor Sketch Published 2019 Mathematics Computer Science ArXiv 28 lipnya 2020 u Wayback Machine Ninh Pham Rasmus Pagh 2013 Fast and scalable polynomial kernels via explicit feature maps SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining Association for Computing Machinery doi 10 1145 2487575 2487591 Eilers Paul H C Marx Brian D 2003 Multivariate calibration with temperature interaction using two dimensional penalized signal regression Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems 66 2 159 174 doi 10 1016 S0169 7439 03 00029 7 Currie I D Durban M Eilers P H C 2006 Generalized linear array models with applications to multidimensional smoothing 68 2 259 280 doi 10 1111 j 1467 9868 2006 00543 x Ahle Thomas Kapralov Michael Knudsen Jakob Pagh Rasmus Velingker Ameya Woodruff David Zandieh Amir 2020 Oblivious Sketching of High Degree Polynomial Kernels ACM SIAM Symposium on Discrete Algorithms Association for Computing Machinery doi 10 1137 1 9781611975994 9 Bryan Bischof Higher order co occurrence tensors for hypergraphs via face splitting Published 15 February 2020 Mathematics Computer Science ArXiv 25 listopada 2020 u Wayback Machine Johannes W R Martini Jose Crossa Fernando H Toledo Jaime Cuevas On Hadamard and Kronecker products in covariance structures for genotype x environment interaction Plant Genome 2020 13 e20033 Page 5 2 DzherelaKhatri C G C R Rao 1968 Sankhya 30 167 180 Arhiv originalu za 23 zhovtnya 2010 Procitovano 21 serpnya 2008 Zhang X Yang Z Cao C 2002 Inequalities involving Khatri Rao products of positive semi definite matrices Applied Mathematics E notes 2 117 124 Matrix Algebra amp Its Applications to Statistics amp Econometrics C R Rao with M Bhaskara Rao World Scientific 1998 P 216