Умови Інади (англ. Inada conditions) в макроекономіці — припущення про характер виробничої функції, що гарантують стабільність економічного зростання в неокласичній моделі (англ. balanced growth path, BGP). У нинішньому вигляді введені [en], названі на честь іншого японського економіста, [en].
Умови
Вважається, що задано неперервно диференційовну виробничу функцію , де — кількість факторів виробництва. Наприклад. для функції Кобба — Дугласа їх традиційно два: капітал і праця . Тоді до виробничої функції можна поставити такі вимоги:
- Значення функції в нулі дорівнює нулю . При цьому вимагається, щоб функція дорівнювала нулю навіть якщо тільки один із факторів відсутній.
- Функція є монотонно зростальною за кожним із факторів: .
- Функція є строго увігнутою, тобто друга похідна функції від'ємна: .
- Границя першої похідної дорівнює нескінченності при , що прямує до 0: ;
- границя першої похідної дорівнює 0 при , що прямує до нескінченності: .
Умовами Інади називають як усі сформульовані вище вимоги, так і останню групу вимог, що накладають обмеження на поведінку похідної.
Умови Інади мають такий зміст. Рівність функції нулю означає, що для виробництва потрібні ресурси і всі фактори виробництва обов'язково мають бути присутніми. Зростання означає, що більше факторів виробництва приносить більший випуск. Увігнутість є наслідком спадного граничного продукту. Вимоги до поведінки похідної означають, що у початковий момент кожна додаткова одиниця ресурсів дає економіці дуже багато випуску, але з часом, через спадання віддачі, зростати стає дедалі складніше. Кожна додаткова одиниця приносить дедалі менше.
З математичної точки зору, умови Інади гарантують існування збалансованої траєкторії зростання економіки в моделі (англ. balanced growth path, BGP).
Функція Кобба — Дугласа
З класу [en] усім переліченим умовам задовольняє лише функція Кобба — Дугласа. Легко перевірити виконання цих умов для функції ().
У виробництві відсутні капітал або праця, тоді:
- , .
Функція є монотонною за обома факторами виробництва:
- .
Зменшена гранична віддача капіталу та праці:
- .
Поведінка першої похідної в нулі:
- .
Поведінка першої похідної на нескінченності:
- .
Примітки
- Uzawa, 1963.
- Inada, 1963.
- de la Fonteijne, 2015.
- Барро и Сала-и-Мартин, 2010.
- Barelli, Paulo; Pessoa, Samuel de Abreu (2003). Inada Conditions Imply That Production Function Must Be Asymptotically Cobb–Douglas. . 81 (3): 361—363. doi:10.1016/S0165-1765(03)00218-0.
{{}}
:|hdl-access=
вимагає|hdl=
() - Litina, Anastasia; Palivos, Theodore (2008). Do Inada conditions imply that production function must be asymptotically Cobb–Douglas? A comment. . 99 (3): 498—499. doi:10.1016/j.econlet.2007.09.035.
- Kamihigashi, Takashi (2006). (PDF). . 29 (1): 231—237. doi:10.1007/s00199-005-0006-1. Архів оригіналу (PDF) за 21 лютого 2022. Процитовано 23 лютого 2022.
Література
- Барро Р.Дж., Экономический рост. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. — С. 41. — .
- Высшая макроэкономика. — М. : Изд. дом ВШЭ, 2014. — С. 28-29. — .
- Gandolfo, Giancarlo. Economic Dynamics. — Third. — Berlin : Springer, 1996. — С. 176—178. — .
- , H. On a Two-Sector Model of Economic Growth II // [en] : journal. — 1963. — Vol. 30, no. 2. — P. 105—118.
- [en]. On a Two-Sector Model of Economic Growth: Comments and a Generalization // [en] : journal. — 1963. — Vol. 30, no. 2. — P. 119—127.
- de la Fonteijne M. R. Do Inada Conditions imply Cobb-Douglas Asymptotic Behavior or only a Elasticity of Substitution equal to one. — 2015.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Umovi Inadi angl Inada conditions v makroekonomici pripushennya pro harakter virobnichoyi funkciyi sho garantuyut stabilnist ekonomichnogo zrostannya v neoklasichnij modeli angl balanced growth path BGP U ninishnomu viglyadi vvedeni en nazvani na chest inshogo yaponskogo ekonomista en UmoviVvazhayetsya sho zadano neperervno diferencijovnu virobnichu funkciyu F Rn R displaystyle F mathbb R n to mathbb R de n displaystyle n kilkist faktoriv virobnictva Napriklad dlya funkciyi Kobba Duglasa yih tradicijno dva kapital K displaystyle K i pracya L displaystyle L Todi do virobnichoyi funkciyi mozhna postaviti taki vimogi Znachennya funkciyi v nuli dorivnyuye nulyu F 0 0 displaystyle F mathbf 0 0 Pri comu vimagayetsya shob funkciya dorivnyuvala nulyu navit yaksho tilki odin iz faktoriv vidsutnij Funkciya ye monotonno zrostalnoyu za kozhnim iz faktoriv FXi X gt 0 i displaystyle F X i mathbf X gt 0 forall i Funkciya ye strogo uvignutoyu tobto druga pohidna funkciyi vid yemna 2f X Xi2 lt 0 xi displaystyle partial 2 f mathbf X partial X i 2 lt 0 forall x i Granicya pershoyi pohidnoyi F X displaystyle F mathbf X dorivnyuye neskinchennosti pri Xi displaystyle X i sho pryamuye do 0 limXi 0 F X Xi displaystyle lim X i to 0 partial F mathbf X partial X i infty granicya pershoyi pohidnoyi F X displaystyle F mathbf X dorivnyuye 0 pri Xi displaystyle X i sho pryamuye do neskinchennosti limXi F X Xi 0 displaystyle lim X i to infty partial F mathbf X partial X i 0 Umovami Inadi nazivayut yak usi sformulovani vishe vimogi tak i ostannyu grupu vimog sho nakladayut obmezhennya na povedinku pohidnoyi Umovi Inadi mayut takij zmist Rivnist funkciyi nulyu oznachaye sho dlya virobnictva potribni resursi i vsi faktori virobnictva obov yazkovo mayut buti prisutnimi Zrostannya oznachaye sho bilshe faktoriv virobnictva prinosit bilshij vipusk Uvignutist ye naslidkom spadnogo granichnogo produktu Vimogi do povedinki pohidnoyi oznachayut sho u pochatkovij moment kozhna dodatkova odinicya resursiv daye ekonomici duzhe bagato vipusku ale z chasom cherez spadannya viddachi zrostati staye dedali skladnishe Kozhna dodatkova odinicya prinosit dedali menshe Z matematichnoyi tochki zoru umovi Inadi garantuyut isnuvannya zbalansovanoyi trayektoriyi zrostannya ekonomiki v modeli angl balanced growth path BGP Funkciya Kobba DuglasaDiv takozh Model Kobba Duglasa Z klasu en usim perelichenim umovam zadovolnyaye lishe funkciya Kobba Duglasa Legko pereviriti vikonannya cih umov dlya funkciyi Y F K L KaL1 a displaystyle Y F K L K alpha L 1 alpha a 0 1 displaystyle alpha in 0 1 U virobnictvi vidsutni kapital abo pracya todi F 0 L 0 displaystyle F 0 L 0 F K 0 0 displaystyle F K 0 0 Funkciya ye monotonnoyu za oboma faktorami virobnictva FK aKa 1L1 a gt 0 displaystyle F K alpha K alpha 1 L 1 alpha gt 0 FL 1 a KaL a displaystyle F L 1 alpha K alpha L alpha Zmenshena granichna viddacha kapitalu ta praci FK a a 1 Ka 2L1 a lt 0 displaystyle F K alpha alpha 1 K alpha 2 L 1 alpha lt 0 FL a 1 a KaL a 1 lt 0 displaystyle F L alpha 1 alpha K alpha L alpha 1 lt 0 Povedinka pershoyi pohidnoyi v nuli limK 0FK aKa 1L1 a displaystyle lim K to 0 F K alpha K alpha 1 L 1 alpha infty limL 0FL 1 a KaL a displaystyle lim L to 0 F L 1 alpha K alpha L alpha infty Povedinka pershoyi pohidnoyi na neskinchennosti limK FK aKa 1L1 a 0 displaystyle lim K to infty F K alpha K alpha 1 L 1 alpha 0 limL FL 1 a KaL a 0 displaystyle lim L to infty F L 1 alpha K alpha L alpha 0 PrimitkiUzawa 1963 Inada 1963 de la Fonteijne 2015 Barro i Sala i Martin 2010 Barelli Paulo Pessoa Samuel de Abreu 2003 Inada Conditions Imply That Production Function Must Be Asymptotically Cobb Douglas 81 3 361 363 doi 10 1016 S0165 1765 03 00218 0 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite journal title Shablon Cite journal cite journal a hdl access vimagaye hdl dovidka Litina Anastasia Palivos Theodore 2008 Do Inada conditions imply that production function must be asymptotically Cobb Douglas A comment 99 3 498 499 doi 10 1016 j econlet 2007 09 035 Kamihigashi Takashi 2006 PDF 29 1 231 237 doi 10 1007 s00199 005 0006 1 Arhiv originalu PDF za 21 lyutogo 2022 Procitovano 23 lyutogo 2022 LiteraturaBarro R Dzh Ekonomicheskij rost M BINOM Laboratoriya znanij 2010 S 41 ISBN 978 5 94774 790 4 Vysshaya makroekonomika M Izd dom VShE 2014 S 28 29 ISBN 978 5 7568 0406 2 Gandolfo Giancarlo Economic Dynamics Third Berlin Springer 1996 S 176 178 ISBN 3 540 60988 1 H On a Two Sector Model of Economic Growth II en journal 1963 Vol 30 no 2 P 105 118 en On a Two Sector Model of Economic Growth Comments and a Generalization en journal 1963 Vol 30 no 2 P 119 127 de la Fonteijne M R Do Inada Conditions imply Cobb Douglas Asymptotic Behavior or only a Elasticity of Substitution equal to one 2015