В алгебраїчній топології n-вимірним числом Бетті простору X є ранг n-вимірної з цілими коефіцієнтами. Еквівалентно числа Бетті рівні розмірності гомологічної групи з раціональними коефіцієнтами. Для кожного n числа Бетті — топологічні інваріанти поліедра, що реалізовує комплекс K, що вказує число попарно негомологічних (над раціональними числами) циклів в ньому.
Термін «числа Бетті» було введено Анрі Пуанкаре, який назвав їх на честь італійського математика Енріко Бетті.
Приклади
- Для сфери
- Для проективної площини
- Для тора
Приклад: перше число Бетті в теорії графів
В топологічній теорії графів перше число Бетті графу G з n вершинами, m ребрами та k компонентами зв'язності дорівнює
Це можна безпосередньо довести із використанням математичної індукції за кількістю ребер. Нове ребро або збільшує кількість 1-циклів, або зменшує кількість компонент зв'язності.
Дивись цикломатичну складність як приклад застосування першого числа Бетті в розробці програмного забезпечення.
Властивості
- Для скінченного симпліційного комплекса K групи гомологій Hk(K) є скінченно-породженими і, відтак, мають скінченний ранг. Якщо k перевищує максимальну розмірність симплексів K, то відповідні групи гомологій нульові. У цьому випадку
- Ейлерова характеристика K може бути виражена наступним чином
- Функція Пуанкаре є поліномом.
- Ейлерова характеристика K може бути виражена наступним чином
- Згідно з для будь-яких двох просторів X і Y, вірно наступне співвідношення для функцій Пуанкаре
- Якщо X — (замкнутий) і орієнтовний n-вимірний многовид, то, згідно з двоїстістю Пуанкаре, для будь-якого k:
Література
- Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V algebrayichnij topologiyi n vimirnim chislom Betti prostoru X ye rang n vimirnoyi z cilimi koeficiyentami Ekvivalentno chisla Betti rivni rozmirnosti gomologichnoyi grupi z racionalnimi koeficiyentami Dlya kozhnogo n chisla Betti topologichni invarianti poliedra sho realizovuye kompleks K sho vkazuye chislo poparno negomologichnih nad racionalnimi chislami cikliv v nomu Termin chisla Betti bulo vvedeno Anri Puankare yakij nazvav yih na chest italijskogo matematika Enriko Betti PrikladiDlya sferi Sn displaystyle S n b0 Sn 1 b1 Sn bn 1 Sn 0 bn Sn 1 displaystyle b 0 S n 1 quad b 1 S n ldots b n 1 S n 0 quad b n S n 1 Dlya proektivnoyi ploshini P2 R displaystyle P 2 mathbb R b0 P2 R 1 b1 P2 R b2 P2 R 0 displaystyle b 0 P 2 mathbb R 1 quad b 1 P 2 mathbb R b 2 P 2 mathbb R 0 Dlya tora T2 displaystyle T 2 b0 T2 b2 T2 1 b1 T2 2 displaystyle b 0 T 2 b 2 T 2 1 quad b 1 T 2 2 Priklad pershe chislo Betti v teoriyi grafiv V topologichnij teoriyi grafiv pershe chislo Betti grafu G z n vershinami m rebrami ta k komponentami zv yaznosti dorivnyuye m n k displaystyle m n k Ce mozhna bezposeredno dovesti iz vikoristannyam matematichnoyi indukciyi za kilkistyu reber Nove rebro abo zbilshuye kilkist 1 cikliv abo zmenshuye kilkist komponent zv yaznosti Divis ciklomatichnu skladnist yak priklad zastosuvannya pershogo chisla Betti v rozrobci programnogo zabezpechennya VlastivostiDlya skinchennogo simplicijnogo kompleksa K grupi gomologij Hk K ye skinchenno porodzhenimi i vidtak mayut skinchennij rang Yaksho k perevishuye maksimalnu rozmirnist simpleksiv K to vidpovidni grupi gomologij nulovi U comu vipadku Ejlerova harakteristika K mozhe buti virazhena nastupnim chinom x K i 0 1 ibi K displaystyle chi K sum i 0 infty 1 i beta i K Funkciya Puankare ye polinomom Zgidno z dlya bud yakih dvoh prostoriv X i Y virno nastupne spivvidnoshennya dlya funkcij PuankarePX Y PXPY displaystyle P X times Y P X P Y dd Yaksho X zamknutij i oriyentovnij n vimirnij mnogovid to zgidno z dvoyististyu Puankare dlya bud yakogo k bk X bn k X displaystyle beta k X beta n k X LiteraturaAleksandrov P S Vvedenie v teoriyu mnozhestv i obshuyu topologiyu Moskva Nauka 1977 368 s ISBN 5354008220 ros