Многочлен вузла

В теорії вузлів многочлен вузла — це інваріант вузла у вигляді многочлена, коефіцієнти якого кодують деякі властивості даного вузла.

Багато многочленів вузла обчислюються за допомогою скейн-співвідношень, які дозволяють, змінюючи типу перетину, звести вузол до простішого.

Історія

Перший многочлен вузла, многочлен Александера, представив ще року , але інші многочлени вузла знайдено лише майже 60 років по тому.

У 1960-х роках Джон Конвей запропонував скейн-співвідношення для версії многочлена Александера, який зазвичай згадують як многочлен Александера — Конвея. Важливість скейн-співвідношень недооцінювали до 1980-х років, коли Воен Джонс відкрив многочлен Джонса. Це відкриття привело до виявлення ще кількох многочленів, таких як ^[en].

Незабаром після відкриття Джонса ^[en] зауважив, що многочлен Джонса можна обчислити в термінах моделі сум станів, яка використовує дужки Кауфмана, інваріант ^[en] вузлів. Це відкрило широку дорогу для досліджень в галузі теорії зачеплення вузлів і статистичній механіці.

В кінці 1980-х років здійснено два прориви: Едвард Віттен продемонстрував, що многочлен Джонса і схожі інваріанти цього типу описано в ^[ru]; Віктор Васильєв і ^[en] створили теорію ^[en] вузлів. Відомо, що коефіцієнти згаданих многочленів мають скінченний тип (можливо, після деякої «підстановки змінних»).

2003 року показано, що многочлен Александера пов'язаний з ^[en]. Градуйована ейлерова характеристика ^[en] Ожвата і Сабо є многочленом Александера.

Приклад

Запис Александера — Бріггса	Многочлен Александера ${\displaystyle \Delta (t)}$	Многочлен Конвея${\displaystyle \nabla (z)}$	Многочлен Джонса ${\displaystyle V(q)}$	^[en]${\displaystyle H(a,z)}$
${\displaystyle 0_{1}}$ (тривіальний вузол)	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 3_{1}}$ (Трилисник)	${\displaystyle t-1+t^{-1}}$	${\displaystyle z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}}$	${\displaystyle -a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}}$
${\displaystyle 4_{1}}$ (Вісімка)	${\displaystyle -t+3-t^{-1}}$	${\displaystyle -z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}}$	${\displaystyle a^{2}+a^{-2}-z^{2}-1}$
${\displaystyle 5_{1}}$ (Перстач)	${\displaystyle t^{2}-t+1-t^{-1}+t^{-2}}$	${\displaystyle z^{4}+3z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{-2}+q^{-4}-q^{-5}+q^{-6}-q^{-7}}$	${\displaystyle -a^{6}z^{2}-2a^{6}+a^{4}z^{4}+4a^{4}z^{2}+3a^{4}}$
${\displaystyle -}$ (Бабин вузол)	${\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(z^{2}+1\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)^{2}}$
${\displaystyle -}$ (Прямий вузол)	${\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(z^{2}+1\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)\left(q+q^{3}-q^{4}\right)}$	${\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)\times }$ ${\displaystyle \left(-a^{-4}+a^{-2}z^{-2}+2a^{-2}\right)}$

Запис Александера — Бріггса — це нотація, яка перелічує вузли за їхнім числом перетинів, при цьому зазвичай до списку включають лише прості вузли (дивіться ^[en]).

Зауважимо, що многочлен Александера і многочлен Конвея НЕ МОЖУТЬ розрізнити лівий і правий трилисники.

• Лівий трилисник
• Правий трилисник

Не розрізняють вони також бабин вузол і прямий вузол, оскільки композиція вузлів у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ дає добуток многочленів вузлів.

Див. також

Многочлени вузла

• Многочлен Александера
• Дужка Кауфмана
• ^[en]
• Многочлен Джонса
• Многочлен Кауфмана

Пов'язані теми

• Скейн-співвідношення для формального визначення многочлена Александера.

Примітки

1. Ozsváth, Szabó, 2003, с. 225—254.

Література

• Colin Adams. The Knot Book. — American Mathematical Society. — .
• W. B. R. Lickorish. An introduction to knot theory. — New York : Springer-Verlag, 1997. — Т. 175. — (Graduate Texts in Mathematics) — .
• Peter S. Ozsváth, Zoltán Szabó. Heegaard Floer homology and alternating knots // Geom. Topol. — 2003. — Вип. 7 (19 червня).