Середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного в математичній статистиці — величина, що характеризує стандартне відхилення вибіркового середнього, розраховане по вибірці розміром із генеральної сукупності. Термін уперше ввів Удні Юл [en]. Значення середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного залежить від дисперсії генеральної сукупності та обсягу вибірки .
Вибірковий розподіл вибіркового середнього утворюється шляхом повторювання експериментів і фіксування щоразу отриманого середнього. Таким чином отримують розподіл різних середніх, і цей розподіл має своє власне середнє та дисперсію. Математично дисперсія отриманого вибіркового розподілу дорівнює дисперсії сукупності, поділеній на обсяг вибірки. Це тому, що за збільшення обсягу вибірки вибіркове середнє скупчується ближче до середнього сукупності.
Отже, співвідношення між середнім квадратичним відхиленням середнього арифметичного і стандартним відхиленням буде таким, що для даного обсягу вибірки середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного дорівнює стандартному відхиленню, поділеному на квадратний корінь від обсягу вибірки. Іншими словами, середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного є мірою розсіяння вибіркових середніх довкола центру розподілу сукупності.
У регресійному аналізі, термін "середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного" відноситься або до квадратного кореня із [en] або середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного конкретного коефіцієнту регресії (як це використовується, наприклад, в довірчих інтервалах).
Середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного іноді називають "стандартною помилкою" або "стандартною похибкою". Ці терміни є неоднозначними і не рекомендуються до використання як такі, що можуть призвести до плутанини.
Середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного
Середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного пов'язане зі стандартним відхиленням генеральної сукупності наступним чином
де — величина стандартного відхилення генеральної сукупності, — обсяг вибірки.
Оскільки дисперсія генеральної сукупності зазвичай невідома, то використовують відповідні статистичні оцінки:
де — статистична оцінка стандартного відхилення випадкової величини на основі незміщеної оцінки її вибіркової дисперсії.
Вибірка
Оцінки середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного і стандартного відхилення невеликих вибірок мають тенденцію до систематичного заниження в порівнянні з їх значеннями, отриманими з генеральної сукупності: середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного є зміщеною оцінкою. За n = 2 недооцінка значення становить близько 25%, а для n = 6 заниження оцінки становить лише 5%. Гурланд і Тріпані (1971) запропонували поправку і рівняння для врахування цього ефекту. Сокал і Рольф (1981) запропонували рівняння коефіцієнту поправки для малих вибірок із обсягом n < 20.
Практичний результат: Аби зменшити невизначеність в оцінці середнього значення вдвічі необхідно збільшити кількість спостережень в чотири рази, або, щоб зменшити середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного в десять разів, необхідно в 100 раз збільшити число результатів спостережень.
Доведення
Формулу можна отримати із розрахунку дисперсії для суми незалежних випадкових величин.
- Якщо — це незалежних спостережень із сукупності, що має середнє і стандартне відхилення , тоді дисперсія величини дорівнює
- Дисперсія для (вибіркового середнього ) повинна бути
- Стандартне відхилення величини повинно бути
Апроксимація Стьюдента за невідомого значення σ
Нехай X1, …, Xn — це незалежні випадкові величини з розподілу N(μ, σ2), тобто це вибірка розміру n з генеральної сукупності з нормальним розподілом з середнім значенням μ і дисперсією σ2.
Нехай
буде середнім вибірки і нехай
буде (виправлена згідно з Бесселем) дисперсія вибірки. Тоді випадкова величина
має стандартний нормальний розподіл (тобто, з середнім 0 і дисперсією 1), а випадкова величина
(де ми підставили S замість σ) має t-розподіл Стьюдента з n − 1 ступенями свободи.
Для невеликих вибірок оцінка стандартного відхилення сукупності як правило буде заниженою, і середнє значно відрізнятиметься від середнього сукупності, а t-розподіл Стьюдента для оцінки імовірностей цих подій матиме більш масивні бокові рукави в порівнянні із розподілом Гауса. Для оцінки середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного для t-розподілу Стьюдента достатнім буде використати вибіркове стандартне відхилення "s" замість σ, і це значення можна використати для розрахунку довірчих інтервалів.
Примітка: t-розподіл Стьюдента наближується до Гаусового розподілу зі збільшенням обсягу вибірки. Останній є значно простіший, і його можна використовувати для великих вибірок.
Застосування
Прикладом використання середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного є побудова довірчих інтервалів для невідомого математичного сподівання генеральної сукупності. Якщо вибірка є нормально розподіленою, тоді вибіркове середнє, середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного і квантилі нормального розподілу можливо застосувати для розрахунку довірчих інтервалів математичного сподівання. Для визначення верхньої і нижньої межі 95%-го довірчого інтервалу можна використати наступний вираз, де дорівнює вибірковому середньому, а 1,96 є 0.95 % квантилем нормального розподілу:
- Верхня 95% межа і
- Нижня 95% межа
Зокрема, стандартна похибка для вибіркової статистики (такої як вибіркове середнє) є фактичним або оціненим стандартним відхиленням похибки, що визначається процесом, яким вона була породжена. Іншими словами, це є фактичне чи оцінене стандартне відхилення вибіркового розподілу вибіркової статистики.
Стандартна похибка є простою мірою невизначення величини (мірою невпевненості) і часто використовується з наступних міркувань:
- в багатьох випадках, якщо відома стандартна похибка для декількох індивідуальних величин, тоді досить легко розрахувати стандартну похибку деякої функції цих величин;
- коли відомий розподіл імовірностей випадкової величини, його можна використати аби розрахувати точний довірчий інтервал;
- коли розподіл імовірностей не відомий, для розрахунку довірчого інтервалу можна використати нерівності Чебишова або [en]; і
- з тим як об'єм вибірки прямує до нескінченності Центральна гранична теорема гарантує, що вибірковий розподіл середнього буде асимптотично нормальним.
Середнє квадратичне відхилення середнього в порівнянні із стандартним відхиленням
В статистиці і технічній літературі дані експериментів часто оцінюють за допомогою середнього і стандартного відхилення даних вибірки або середнього і середнього квадратичного відхилення середнього. Це, як правило, приводить до хибного уявлення про те, що ці оцінки взаємозамінні. Однак середнє і стандартне відхилення відносяться до описової статистики, в той час як стандартна похибка середнього визначає опис випадкового процесу відбору вибірки. Стандартне відхилення вибіркових даних дозволяє описати варіацію в вимірюваннях, в той час як середнє квадратичне відхилення середнього - це ймовірнісне твердження про те, яким чином розмір вибірки може забезпечити кращу оцінку середнього значення сукупності, що відповідає центральній граничній теоремі, і надати його границі.
Простими словами, середнє квадратичне відхилення вибіркового середнього є оцінкою того ,як далеко вибіркове середнє швише за все буде знаходитися від середнього сукупності, в той час як стандартне відхилення для вибірки - це ступінь того, як окремі події в рамках вибірки відрізняються від вибіркового середнього. Якщо стандартне відхилення вибірки є скінченним, середнє квадратичне відхилення середнього для вибірки буде прямувати до нуля за збільшення обсягу вибірки, оскільки оцінка середнього сукупності буде покращуватися, а стандартне відхилення вибірки із збільшенням її обсягу буде краще оцінювати генеральне стандартне відхилення.
Корекція для скінченної сукупності
Щодо наведеної вище формули для середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного припускають, що обсяг вибірки менший за обсяг генеральної сукупності настільки, що можна вважати що генеральна сукупність фактично є нескінченною. Це типовий випадок навіть у випадку скінченних сукупностей, оскільки в більшості людей здебільшого цікавить управління процесом, який створив цю існуючу скінченну сукупність; відповідно до В. Едвардс Демінгу це називається [en]. Якщо метою є управління існуючою скінченною сукупністю, яка не змінюється із часом, тоді необхідно вводити поправку щодо розміру сукупності; це називається нумераційним дослідженням.
Коли частка вибірки є великою (приблизно 5 % або більше) за нумераційного дослідження для оцінки стандартного відхилення потрібно вводити корекцію, помноживши на "поправку для скінченної сукупності":
- ,
що для великих N буде мати вигляд:
аби врахувати додану точність, що буде отримана, якщо вибірка становитиме більший відсоток від генеральної сукупності. Суть ПСК полягає в тому, що похибка стає нульовою, коли обсяг вибірки n є рівним обсягу N генеральної сукупності.
Література
- Hays, W. Statistics. Cengage Learning, 1994. (англ.)
- Sokal; Rohlf (1981). Biometry: Principles and Practice of Statistics in Biological Research (вид. 2nd). с. 53. ISBN .
- Hutchinson, T. P. Essentials of Statistical Methods, in 41 pages. Adelaide: Rumsby. ISBN .
- Barde, M. (2012). What to use to express the variability of data: Standard deviation or standard error of mean?. 3 (3): 113—116. doi:10.4103/2229-3485.100662.
{{}}
: Обслуговування CS1: Сторінки із непозначеним DOI з безкоштовним доступом () - Isserlis, L. (1918). On the value of a mean as calculated from a sample. . Blackwell Publishing. 81 (1): 75—81. doi:10.2307/2340569. JSTOR 2340569. (Equation 1)
- Bondy, Warren; Zlot, William (1976). The Standard Error of the Mean and the Difference Between Means for Finite Populations. . Taylor & Francis. 30: 96—97. JSTOR 2683803. (Equation 2)
Це незавершена стаття зі статистики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Ця стаття потребує додаткових для поліпшення її . (жовтень 2017) |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Serednye kvadratichne vidhilennya serednogo arifmetichnogo v matematichnij statistici velichina sho harakterizuye standartne vidhilennya vibirkovogo serednogo rozrahovane po vibirci rozmirom n displaystyle n iz generalnoyi sukupnosti Termin upershe vviv Udni Yul en Znachennya serednogo kvadratichnogo vidhilennya serednogo arifmetichnogo zalezhit vid dispersiyi generalnoyi sukupnosti s2 displaystyle sigma 2 ta obsyagu vibirki n displaystyle n Dlya velichini sho maye vibirku iz nezmishenoyu normalno rozpodilenoyu pohibkoyu vishenavedene zobrazhennya pokazuye chastku vimiryuvan yaki potraplyat v intervali velichinoyu v 0 1 2 i 3 standartnih vidhilen po obidvi storoni vid faktichnogo znachennya Vibirkovij rozpodil vibirkovogo serednogo utvoryuyetsya shlyahom povtoryuvannya eksperimentiv i fiksuvannya shorazu otrimanogo serednogo Takim chinom otrimuyut rozpodil riznih serednih i cej rozpodil maye svoye vlasne serednye ta dispersiyu Matematichno dispersiya otrimanogo vibirkovogo rozpodilu dorivnyuye dispersiyi sukupnosti podilenij na obsyag vibirki Ce tomu sho za zbilshennya obsyagu vibirki vibirkove serednye skupchuyetsya blizhche do serednogo sukupnosti Otzhe spivvidnoshennya mizh serednim kvadratichnim vidhilennyam serednogo arifmetichnogo i standartnim vidhilennyam bude takim sho dlya danogo obsyagu vibirki serednye kvadratichne vidhilennya serednogo arifmetichnogo dorivnyuye standartnomu vidhilennyu podilenomu na kvadratnij korin vid obsyagu vibirki Inshimi slovami serednye kvadratichne vidhilennya serednogo arifmetichnogo ye miroyu rozsiyannya vibirkovih serednih dovkola centru rozpodilu sukupnosti U regresijnomu analizi termin serednye kvadratichne vidhilennya serednogo arifmetichnogo vidnositsya abo do kvadratnogo korenya iz en abo serednogo kvadratichnogo vidhilennya serednogo arifmetichnogo konkretnogo koeficiyentu regresiyi yak ce vikoristovuyetsya napriklad v dovirchih intervalah Serednye kvadratichne vidhilennya serednogo arifmetichnogo inodi nazivayut standartnoyu pomilkoyu abo standartnoyu pohibkoyu Ci termini ye neodnoznachnimi i ne rekomenduyutsya do vikoristannya yak taki sho mozhut prizvesti do plutanini Serednye kvadratichne vidhilennya serednogo arifmetichnogoSerednye kvadratichne vidhilennya serednogo arifmetichnogo sx displaystyle sigma bar x pov yazane zi standartnim vidhilennyam generalnoyi sukupnosti s displaystyle sigma nastupnim chinom sx sn displaystyle sigma bar x frac sigma sqrt n de s displaystyle sigma velichina standartnogo vidhilennya generalnoyi sukupnosti n displaystyle n obsyag vibirki Oskilki dispersiya generalnoyi sukupnosti zazvichaj nevidoma to vikoristovuyut vidpovidni statistichni ocinki sx Sx sn displaystyle sigma bar x approx text S bar x frac s sqrt n de s displaystyle s statistichna ocinka standartnogo vidhilennya vipadkovoyi velichini na osnovi nezmishenoyi ocinki yiyi vibirkovoyi dispersiyi Vibirka Ocinki serednogo kvadratichnogo vidhilennya serednogo arifmetichnogo i standartnogo vidhilennya nevelikih vibirok mayut tendenciyu do sistematichnogo zanizhennya v porivnyanni z yih znachennyami otrimanimi z generalnoyi sukupnosti serednye kvadratichne vidhilennya serednogo arifmetichnogo ye zmishenoyu ocinkoyu Za n 2 nedoocinka znachennya stanovit blizko 25 a dlya n 6 zanizhennya ocinki stanovit lishe 5 Gurland i Tripani 1971 zaproponuvali popravku i rivnyannya dlya vrahuvannya cogo efektu Sokal i Rolf 1981 zaproponuvali rivnyannya koeficiyentu popravki dlya malih vibirok iz obsyagom n lt 20 Praktichnij rezultat Abi zmenshiti neviznachenist v ocinci serednogo znachennya vdvichi neobhidno zbilshiti kilkist sposterezhen v chotiri razi abo shob zmenshiti serednye kvadratichne vidhilennya serednogo arifmetichnogo v desyat raziv neobhidno v 100 raz zbilshiti chislo rezultativ sposterezhen Dovedennya Dokladnishe Dispersiya vipadkovoyi velichini Formulu mozhna otrimati iz rozrahunku dispersiyi dlya sumi nezalezhnih vipadkovih velichin Yaksho x1 x2 xn displaystyle x 1 x 2 ldots x n ce n displaystyle n nezalezhnih sposterezhen iz sukupnosti sho maye serednye m displaystyle mu i standartne vidhilennya s displaystyle sigma todi dispersiya velichini T x1 x2 xn displaystyle T x 1 x 2 cdots x n dorivnyuye ns2 displaystyle n sigma 2 Dispersiya dlya T n displaystyle T n vibirkovogo serednogo x displaystyle bar x povinna buti 1n2ns2 s2n displaystyle frac 1 n 2 n sigma 2 frac sigma 2 n Standartne vidhilennya velichini T n displaystyle T n povinno buti s n displaystyle sigma sqrt n Aproksimaciya Styudenta za nevidomogo znachennya sNehaj X1 Xn ce nezalezhni vipadkovi velichini z rozpodilu N m s2 tobto ce vibirka rozmiru n z generalnoyi sukupnosti z normalnim rozpodilom z serednim znachennyam m i dispersiyeyu s2 Nehaj X 1n i 1nXi displaystyle bar X frac 1 n sum i 1 n X i bude serednim vibirki i nehaj S2 1n 1 i 1n Xi X 2 displaystyle S 2 frac 1 n 1 sum i 1 n X i bar X 2 bude vipravlena zgidno z Besselem dispersiya vibirki Todi vipadkova velichina X ms n displaystyle frac bar X mu sigma sqrt n maye standartnij normalnij rozpodil tobto z serednim 0 i dispersiyeyu 1 a vipadkova velichina X mS n displaystyle frac bar X mu S sqrt n de mi pidstavili S zamist s maye t rozpodil Styudenta z n 1 stupenyami svobodi Dlya nevelikih vibirok ocinka standartnogo vidhilennya sukupnosti yak pravilo bude zanizhenoyu i serednye znachno vidriznyatimetsya vid serednogo sukupnosti a t rozpodil Styudenta dlya ocinki imovirnostej cih podij matime bilsh masivni bokovi rukavi v porivnyanni iz rozpodilom Gausa Dlya ocinki serednogo kvadratichnogo vidhilennya serednogo arifmetichnogo dlya t rozpodilu Styudenta dostatnim bude vikoristati vibirkove standartne vidhilennya s zamist s i ce znachennya mozhna vikoristati dlya rozrahunku dovirchih intervaliv Primitka t rozpodil Styudenta nablizhuyetsya do Gausovogo rozpodilu zi zbilshennyam obsyagu vibirki Ostannij ye znachno prostishij i jogo mozhna vikoristovuvati dlya velikih vibirok ZastosuvannyaDokladnishe Dovirchij interval Prikladom vikoristannya serednogo kvadratichnogo vidhilennya serednogo arifmetichnogo ye pobudova dovirchih intervaliv dlya nevidomogo matematichnogo spodivannya generalnoyi sukupnosti Yaksho vibirka ye normalno rozpodilenoyu todi vibirkove serednye serednye kvadratichne vidhilennya serednogo arifmetichnogo i kvantili normalnogo rozpodilu mozhlivo zastosuvati dlya rozrahunku dovirchih intervaliv matematichnogo spodivannya Dlya viznachennya verhnoyi i nizhnoyi mezhi 95 go dovirchogo intervalu mozhna vikoristati nastupnij viraz de x displaystyle bar x dorivnyuye vibirkovomu serednomu a 1 96 ye 0 95 kvantilem normalnogo rozpodilu Verhnya 95 mezha x Sx 1 96 displaystyle bar x S bar x times 1 96 i Nizhnya 95 mezha x Sx 1 96 displaystyle bar x S bar x times 1 96 Zokrema standartna pohibka dlya vibirkovoyi statistiki takoyi yak vibirkove serednye ye faktichnim abo ocinenim standartnim vidhilennyam pohibki sho viznachayetsya procesom yakim vona bula porodzhena Inshimi slovami ce ye faktichne chi ocinene standartne vidhilennya vibirkovogo rozpodilu vibirkovoyi statistiki Standartna pohibka ye prostoyu miroyu neviznachennya velichini miroyu nevpevnenosti i chasto vikoristovuyetsya z nastupnih mirkuvan v bagatoh vipadkah yaksho vidoma standartna pohibka dlya dekilkoh individualnih velichin todi dosit legko rozrahuvati standartnu pohibku deyakoyi funkciyi cih velichin koli vidomij rozpodil imovirnostej vipadkovoyi velichini jogo mozhna vikoristati abi rozrahuvati tochnij dovirchij interval koli rozpodil imovirnostej ne vidomij dlya rozrahunku dovirchogo intervalu mozhna vikoristati nerivnosti Chebishova abo en i z tim yak ob yem vibirki pryamuye do neskinchennosti Centralna granichna teorema garantuye sho vibirkovij rozpodil serednogo bude asimptotichno normalnim Serednye kvadratichne vidhilennya serednogo v porivnyanni iz standartnim vidhilennyam V statistici i tehnichnij literaturi dani eksperimentiv chasto ocinyuyut za dopomogoyu serednogo i standartnogo vidhilennya danih vibirki abo serednogo i serednogo kvadratichnogo vidhilennya serednogo Ce yak pravilo privodit do hibnogo uyavlennya pro te sho ci ocinki vzayemozaminni Odnak serednye i standartne vidhilennya vidnosyatsya do opisovoyi statistiki v toj chas yak standartna pohibka serednogo viznachaye opis vipadkovogo procesu vidboru vibirki Standartne vidhilennya vibirkovih danih dozvolyaye opisati variaciyu v vimiryuvannyah v toj chas yak serednye kvadratichne vidhilennya serednogo ce jmovirnisne tverdzhennya pro te yakim chinom rozmir vibirki mozhe zabezpechiti krashu ocinku serednogo znachennya sukupnosti sho vidpovidaye centralnij granichnij teoremi i nadati jogo granici Prostimi slovami serednye kvadratichne vidhilennya vibirkovogo serednogo ye ocinkoyu togo yak daleko vibirkove serednye shvishe za vse bude znahoditisya vid serednogo sukupnosti v toj chas yak standartne vidhilennya dlya vibirki ce stupin togo yak okremi podiyi v ramkah vibirki vidriznyayutsya vid vibirkovogo serednogo Yaksho standartne vidhilennya vibirki ye skinchennim serednye kvadratichne vidhilennya serednogo dlya vibirki bude pryamuvati do nulya za zbilshennya obsyagu vibirki oskilki ocinka serednogo sukupnosti bude pokrashuvatisya a standartne vidhilennya vibirki iz zbilshennyam yiyi obsyagu bude krashe ocinyuvati generalne standartne vidhilennya Korekciya dlya skinchennoyi sukupnostiShodo navedenoyi vishe formuli dlya serednogo kvadratichnogo vidhilennya serednogo arifmetichnogo pripuskayut sho obsyag vibirki menshij za obsyag generalnoyi sukupnosti nastilki sho mozhna vvazhati sho generalna sukupnist faktichno ye neskinchennoyu Ce tipovij vipadok navit u vipadku skinchennih sukupnostej oskilki v bilshosti lyudej zdebilshogo cikavit upravlinnya procesom yakij stvoriv cyu isnuyuchu skinchennu sukupnist vidpovidno do V Edvards Demingu ce nazivayetsya en Yaksho metoyu ye upravlinnya isnuyuchoyu skinchennoyu sukupnistyu yaka ne zminyuyetsya iz chasom todi neobhidno vvoditi popravku shodo rozmiru sukupnosti ce nazivayetsya numeracijnim doslidzhennyam Koli chastka vibirki ye velikoyu priblizno 5 abo bilshe za numeracijnogo doslidzhennya dlya ocinki standartnogo vidhilennya potribno vvoditi korekciyu pomnozhivshi na popravku dlya skinchennoyi sukupnosti PSK N nN 1 displaystyle text PSK sqrt frac N n N 1 sho dlya velikih N bude mati viglyad PSK 1 nN displaystyle text PSK approx sqrt 1 frac n N abi vrahuvati dodanu tochnist sho bude otrimana yaksho vibirka stanovitime bilshij vidsotok vid generalnoyi sukupnosti Sut PSK polyagaye v tomu sho pohibka staye nulovoyu koli obsyag vibirki n ye rivnim obsyagu N generalnoyi sukupnosti LiteraturaHays W Statistics Cengage Learning 1994 angl Sokal Rohlf 1981 Biometry Principles and Practice of Statistics in Biological Research vid 2nd s 53 ISBN 0 7167 1254 7 Hutchinson T P Essentials of Statistical Methods in 41 pages Adelaide Rumsby ISBN 0 646 12621 0 Barde M 2012 What to use to express the variability of data Standard deviation or standard error of mean 3 3 113 116 doi 10 4103 2229 3485 100662 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite journal title Shablon Cite journal cite journal a Obslugovuvannya CS1 Storinki iz nepoznachenim DOI z bezkoshtovnim dostupom posilannya Isserlis L 1918 On the value of a mean as calculated from a sample Blackwell Publishing 81 1 75 81 doi 10 2307 2340569 JSTOR 2340569 Equation 1 Bondy Warren Zlot William 1976 The Standard Error of the Mean and the Difference Between Means for Finite Populations Taylor amp Francis 30 96 97 JSTOR 2683803 Equation 2 ol Ce nezavershena stattya zi statistiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno zhovten 2017 section